Symmetri (fysisk)

I fysikk refererer begrepet symmetri , som er nært knyttet til forestillingen om uforanderlighet , til muligheten for å vurdere det samme fysiske systemet fra flere synsvinkler som er forskjellige når det gjelder beskrivelse, men tilsvarende når det gjelder spådommer på utvikling.

Denne artikkelen tar sikte på å gjennomgå hovedtyper av symmetri som finnes i fysikk, for å kort beskrive deres formelle implementering og til slutt å presentere mekanismene som en symmetri kan brytes i naturen , noe som kan komplisere identifikasjonen i det praktiske.

Historien om begrepet symmetri i fysikk

Ordet symmetri kommer fra den antikke greske συμμετρία ( summetría ) som indikerer et forhold mellom commensurability , og mer spesifikt av en harmonisk proporsjon mellom forskjellige elementer i en helhet. Den moderne forestillingen om symmetri bevarer denne koblingen mellom ideene om harmoni, skjønnhet og enhet, spesielt utviklet i platonisk filosofi , som det berømte eksemplet på de fem "  platoniske faste stoffene  " i Timaeus viser . Bruken, ofte implisitt, av symmetriargumenter i tjeneste for fysisk resonnement eksisterer altså siden antikken. Blant de gamle grekerne har to eksempler vært spesielt berømte. Den første på grunn av Anaximander og rapportert av Aristoteles i sin avhandling om himmelen forklarer jordens immobilitet ved sin sentrale posisjon i et sfærisk kosmos ( geosentrisme ): ingen retning kan være privilegert for dens bevegelse - som i moderne termer dette kalles isotropi - den må nødvendigvis forbli statisk. Det andre skyldes Archimedes , for hans demonstrasjon av lovene om kroppsbalanse og jakten på barycenters.

Dette er den XVII th  århundre er ideen om elementene utbyttbare med hensyn til alle, det vil si forskjellige elementer motstå innenfor hele hvilken de dannes, men likevel i en viss relasjon av likhet mellom dem under visse geometriske transformasjoner. Det er denne utviklingen som vil føre til de elementære geometriske forestillingene om aksiale og sentrale symmetrier .

Fra krystallografi til Curie-prinsippet

Med fødselen av krystallografi fra slutten av XVIII th  århundre pålegger en første systematisk bruk mathematized og symmetrier. Ved å kombinere de tre operasjonene rotasjon, oversettelse og refleksjon ("speilsymmetri") vil krystallografi føre til Auguste Bravais 'arbeid i 1848 til en systematisk klassifisering av alle eksisterende krystaller fra deres masker. Elementær , delt inn i seks familier og fjorten forskjellige “  typer nettverk  ”. I tillegg til å gi en nomenklatur over mulige former, har denne geometriske klassifiseringen også gjort det mulig å karakterisere et visst antall optiske og mekaniske egenskaper til krystallinske faste stoffer.

Etter disse første suksessene foreslo den franske fysikeren Pierre Curie å utvide bruken av symmetriargumenter til ikke bare geometriske hensyn, men også til den generelle studien av fysiske fenomener. I en berømt artikkel publisert i 1894 foreslo han, basert på eksemplet på elektriske og magnetiske fenomener i krystaller, et stort program for fysikere:

“Jeg tror det ville være nyttig å introdusere de fysiologiske fenomeners betraktninger om symmetri som er kjent for krystallografer. […] Fysikere bruker ofte betingelsene gitt av symmetri, men forsømmer generelt å definere symmetri i et fenomen. [...] To miljøer med samme dissymmetri har en spesiell kobling mellom seg, hvorfra vi kan trekke fysiske konsekvenser. "

-  Om symmetri i fysiske fenomener , s.  393-394.

For dette kaller han begrepet gruppe - et begynnende matematisk konsept som vil bli det viktigste verktøyet for bruk av symmetri i teoretisk fysikk: "En gruppe gjenopprettingsoperasjoner vil være et møte med operasjoner som to av operasjonene. utført suksessivt vil gi samme resultat som det som oppnås ved en enkelt operasjon som tilhører gruppen. "

Det fører til to viktige konklusjoner, siden de ble døpt med navnet Curie  :

  1. "Et fenomen kan eksistere i et miljø som har sin karakteristiske symmetri [" maksimal symmetri som er kompatibel med fenomenets eksistens "] eller en av intergruppene i dens karakteristiske symmetri. "
  2. “Når visse årsaker gir visse effekter, må elementene i symmetri av årsakene finnes i de produserte effektene. Når visse effekter avslører en viss asymmetri, må denne asymmetrien finnes i årsakene som ga opphav til den. "

I konklusjonen nr .  2 er andre setning bare kontrapositive for den første. Curie understreker at deres samtale derimot er falsk: symmetrien av effektene innebærer ikke symmetrien til årsakene, akkurat som årsakenes dissymmetri ikke innebærer effekten av dissymmetri. Oppsummert kan en effekt være "mer symmetrisk" enn årsaken, men den er minst "like symmetrisk" som årsaken .

Symmetri i klassisk fysikk

Vi presenterer her de forskjellige sammenhenger av klassisk fysikk der forestillingen om symmetri er spesielt viktig. Vi presenterer forestillingen om isotropi , også kalt rotasjonssymmetri , eller til og med om homogenitet som er knyttet til invariansen ved oversettelse i rommet .

Symmetri og bevaring

Noethers teorem sier at for enhver konservert størrelse er det en underliggende symmetri av teorien.

Typer symmetri

Det er tre typer symmetriforskjeller som vises i fysikk:

Diskret symmetri

En symmetri sies å være diskret når settet med autoriserte transformasjonsoperasjoner utgjør et endelig sett . For eksempel har krystaller oftest en diskret symmeturgruppe kalt en krystallografisk gruppe . Andre diskrete symmetrier er viktige i kvantemekanikken: de er symmetri av ladningskonjugasjon , paritet og tidsinversjon som gjør det mulig å uttrykke CPT-teoremet som bekrefter at enhver kvanteteori må være uforanderlig under produktet av disse tre symmetriene.

Kontinuerlig symmetri

Intuitivt sies det at en symmetri er kontinuerlig når parametrene som bestemmer den varierer kontinuerlig . Dette er tilfellet med rotasjonssymmetri , som er forbundet med den gruppe av rotasjoner i plass for f.eks. Sistnevnte parametriseres av de tre Euler-vinklene som faktisk varierer kontinuerlig.

Den matematiske strukturen som ligger til grunn for beskrivelsen av kontinuerlige symmetrier er teorien om løgngrupper som rotasjonsgruppen er et eksempel på.

Global symmetri

En symmetri er global, man fremdeles sier stiv , hvis man utfører den samme transformasjonen på alle punktene i systemet for å føre til en tilsvarende konfigurasjon. For eksempel er Newtons lov om universell gravitasjon av Newton som utøves mellom to legemer uendret når den roteres eller en lignende oversettelse på de to kroppene. Vi sier derfor at loven om universell gravitasjon er uforanderlig under de globale transformasjonene av rotasjon og oversettelse.

Lokal symmetri

Noen ganger hender det at en teori innrømmer en mye mer avansert symmetri, slik at man kan utføre forskjellige transformasjoner på hvert punkt i rommet. I disse tilfellene snakker vi da om lokal symmetri.

Det første kjente tilfellet av lokal symmetri er elektromagnetisme . Faktisk er Maxwell-ligningene uendret når man samtidig endrer det elektriske potensialet av derivatet i forhold til tiden for en vilkårlig funksjon, og at man endrer vektorpotensialet med gradienten til den samme funksjonen. Hvis denne funksjonen varierer i henhold til tid og rom, blir det faktisk utført en annen transformasjon på hvert punkt. Likevel forblir ligningene uendret, og de fysiske konklusjonene forblir de samme. Den vilkårlige funksjonen som ble brukt til å bygge disse transformasjonene, parameteriserer den lokale symmeturgruppen av elektromagnetisme som er notert matematisk .

I det tilfellet vi nettopp har sett, handlet symmetrien som ble brukt på teoriens felt , det var derfor en intern symmetri, og i dette tilfellet snakker vi om måleinvarians . Den elektromagnetisme er derfor et eksempel på gaugeteori .

Hvis vi har å gjøre med en rom-tid-symmetri, som for eksempel i tilfelle oversettelser, er ting litt mer komplisert fra et teknisk synspunkt. Hvis teorien er slik at denne symmetrien er mer lokal, så har den invariansen ved reparametrisering av romtid , man snakker fortsatt om generell kovarians , og det er da et spørsmål om generell relativitet . Den universelle tyngdeloven er uforanderlig under globale translasjonelle transformasjoner, men ikke lokale. Generell relativitet kan derfor sees på som utvidelsen av den newtonske tyngdekraften som vi har forstørret settet med transformasjoner der det er uforanderlig.

De to tilfellene vi har sett tilsvarte diskrete symmetri-grupper. Et mer eksotisk tilfelle er konstruksjonen av orbifolds i strengteori som gjør det mulig å bygge eksempler på lokal symmetri for en diskret symmetri.

Eksempler på vanlige symmetrier

Oversettelsessymmetri

Også kalt invarians under oversettelser , sier denne symmetrien at de fysiske lovene ( relativitet , tyngdekraft , elektromagnetisme ...) forblir de samme når som helst i universet.

Rotasjonssymmetri

Denne symmetrien, også kalt invarians under rotasjoner eller isotropi , betegner den topologiske egenskapen til en teori eller et fysisk system som ikke transformeres av en rotasjon. Fra dette synspunktet er det mest symmetriske objektet sfæren fordi den forblir matematisk uendret ved enhver rotasjon.

Matematiske aspekter av begrepet symmetri

Tilbake til Noether's teorem

Generell formalisering: gruppe- og løgealgebra

Integrerbarhet

Integrerbarhet er egenskapen som visse systemer har til å ha så mange konserverte mengder som det er grader av frihet. I dette tilfellet er dataene til disse bevegelseskonstantene tilstrekkelige til å fullstendig bestemme oppførselen til systemet. Det enkleste tilfellet er at det er en grad av frihet, slik som en fjær som svinger i en enkelt retning eller en pendel som svinger i et plan. I dette tilfellet, hvis systemet er isolert, er de eneste energidataene nok til å kjenne all dynamikken.

Noen systemer med et uendelig antall frihetsgrader har også et uendelig antall konserverte mengder. I en rekke interessante situasjoner er denne egenskapen tilstrekkelig til å fullstendig bestemme settet med viktige observasjoner av systemet. Av denne grunn sies også modellene som beskriver dem å være nøyaktig løselige . I samsvar med Noethers teorem har symmetrialgebraen til slike systemer en uendelig dimensjon .

Symmetri og frihetsgrader

Symmetrien er desto større ettersom frihetsgradene er overflødige.

Symmetri i kvantefysikk

Kvantemekanikk

I kvantemekanikk, der systemet er beskrevet av kvantetilstander som danner et matematisk rom kalt Hilbert-rommet , representerer en symmetri-transformasjon handlingen med å endre disse kvantetilstandene uten å modifisere resultatet av målingen av de observerbare i teorien.

Den teoremet Wigner så viser at en slik transformasjon symmetri må være representert ved en operatør med noen nøyaktige matematiske egenskaper og virker på Hilbert plass.

Hvis vi kaller symmetrioperatøren i Schrödinger-representasjonen , hvor kvantetilstandene utvikler seg med tiden, kan vi vise at følgende forhold må bekreftes

hvor er den Hamiltonian operatøren . Hvis symmetrioperatøren ikke er avhengig eksplisitt av tid (derfor ), er denne tilstanden forenklet i

Denne relasjonen uttrykker så at denne symmetrien er assosiert med en konstant bevegelse med hensyn til tid.

I representasjonen av Heisenberg derimot, hvor kvantetilstandene ikke utvikler seg med tiden, tar symmetrioperatøren en annen form, bemerket, og vi kan vise at tilstanden til å være en symmetri er skrevet

Eksempel: spinnet

Når systemet har symmetrien som er gruppen som beskriver romrotasjonene , kan vi klassifisere kvantetilstandene i henhold til deres spinn, noe som gjør det mulig å måle måten de transformerer seg under denne gruppen.

Tilfelle med en todimensjonal feltteori: konform symmetri

Konformal symmetri er egenskapen som visse systemer har til å virke lik seg selv ved å endre skalaen for observasjon (vi sier også selvlignende ). I statistisk fysikk observerer vi en stor klasse av slike systemer under en faseovergang .

Konformal symmetri kan oppnås i systemer med forskjellige dimensjoner, men det todimensjonale tilfellet er veldig spesielt fordi den konforme gruppen som er assosiert med denne symmetrien da har en uendelig dimensjon. En så stor gruppe symmetrier pålegger strukturen til systemets observerbare meget sterke begrensninger , og i en rekke situasjoner er konform symmetri tilstrekkelig til å kjenne nøyaktig alle de fysiske egenskapene til systemet.

De ekstra begrensningene som tilbys av konform symmetri kan føre til at tilsynelatende forskjellige systemer fra et mikroskopisk synspunkt deler vanlige makroskopiske egenskaper under faseoverganger, denne egenskapen kalles universalitet .

Symmetri bryter

Eksperimentelt kan det hende at en symmetri ikke blir observert. Vi sier da at symmetrien er brutt . Dette bruddet kan ha to opprinnelser: enten er den forventede symmetrien ikke en grunnleggende invarians i de underliggende lovene, og da snakker vi om en eksplisitt brudd , eller det er en grunnleggende invarians, men de eksperimentelle forholdene er slik at symmetrien ikke vises eksplisitt. Vi snakker i dette tilfellet om spontan brudd .

faseovergang

Spontan brudd

For å illustrere mekanismen for spontan symmetribrudd, er det tilstrekkelig å vurdere følgende eksempel: visse legemer, som jern , kobolt eller nikkel , kan få magnetisering når de plasseres i nærvær av et magnetfelt . Dette er såkalte ferromagnetiske legemer . Mer presist, når temperaturen deres er lavere enn Curie-temperaturen, er de magnetiserbare, og et eksternt magnetfelt, til og med svakt, er tilstrekkelig til å få magnetisering til å vises i hele materialet som peker i retning av det ytre feltet. Hvis dette eksterne feltet senere er slukket, beholder kroppen denne magnetiseringen som ikke er null. Hvis temperaturen deretter gradvis økes til den når og overstiger Curie-temperaturen, mister kroppen magnetiseringen.

For å beskrive denne veldig følsomme reaksjonen på en svak ekstern forstyrrelse (her et magnetfelt), sier vi at en ferromagnetisk kropp spontant får en magnetisering når den blir avkjølt under Curie-temperaturen. Denne magnetiseringen fikser en bestemt retning i rommet og bryter isotropien til kvantemekanikkens lover som styrer oppførselen til elektroner i materialet. Likevel er dette brudd svakt i den forstand at hvis det eksterne magnetfeltet hadde pekt i en annen retning, ville ferromagnetikken ha fått en magnetisering som pekte i denne andre retningen. Hver gang rotasjonssymmetrien blir dermed brutt, men det er ekvivalens mellom alle mulige bruddretninger.

Når temperaturen stiger over Curie-temperaturen, mister kroppen sin evne til å tilegne seg magnetisering, og den reagerer ikke lenger på et eksternt magnetfelt. Det sies derfor at utover denne kritiske temperaturen blir rotasjonssymmetri gjenopprettet .

Aspektene som nettopp er beskrevet for ferromagnetisme er veldig generelle og gjelder på samme måte alle fenomenene spontan symmetri som bryter, enten det er et spørsmål om klassisk fysikk som vi har sett eller om kvantefysikk med eksemplet på Higgs-mekanismen , ved hvilken elementære partikler av standardmodellen får sin masse . I løpet av denne prosessen er det målesymmetrien til elektrosvak teorien som spontant brytes av det faktum at Higgs-feltet får en vakuum middelverdi uten null ved lav temperatur.

I et generelt fenomen med spontan symmetribrudd, eksisterer det en kontinuerlig parameter (magnetiseringen i tilfelle ferromagnetisme, gjennomsnittsverdien til Higgs-feltet i partikkelfysikk ) av systemet, kalt ordningsparameteren , slik som under en viss kritisk temperaturverdi, er systemet i en fase der symmetri brytes og over hvilken symmetri gjenopprettes. Å bytte fra ett regime til et annet kalles en faseovergang .

Det bør imidlertid bemerkes at i praksis, hvis det av noen grunner ikke er noen liten forstyrrelse utenfor systemet som gjør at den velger en tilstand som bryter symmetrien, så kan den holde en perfekt symmetrisk tilstand, selv om den er i den fasen der symmetrien blir brutt. . Det sies da å være i en metastabil tilstand . For eksempel kan vannet være i en tilstand av underkjøling hvis dens temperatur er under 0 grader, men det er ingen urenhet for å begynne å danne krystaller av is i det. Et kjent historisk eksempel på underkjølt vann er det tragiske dødsfallet til hester som krysset Ladogasjøen under andre verdenskrig .

Kvantbrudd av en klassisk symmetri

En teori kan ha symmetri på klassisk nivå, synlig for eksempel på nivået med dens Hamiltonian, men brytes etter kvantiseringsprosedyren av subtile kvanteeffekter.

Det mest bemerkelsesverdige eksemplet på en oppdaget anomali er skalaenes anomali innenfor rammen av kvantefeltsteorien . I en feltteori som bare har felt med null masse, er det faktisk mulig å utføre en skalaomdannelse på retning og plass uten å påvirke teoriens bevegelsesligninger. Imidlertid, som det kan vises ved eksplisitte beregninger, tilfredsstiller ikke kvanteobservasjoner skalasymmetri generelt, og derfor tillater ligningene i renormaliseringsgruppen eksplisitt å beregne avhengigheten av kvantemål på skalaen for observasjon. Det er nettopp denne skalaen anomali som er ansvarlig for asymptotisk frihet av quantum chromodynamics .

Et annet bemerkelsesverdig eksempel på en anomali er den av chiral anomali .

En bestemt symmetri: supersymmetri

Motivasjon

Den standard modell bekreftet ved observasjoner viser en tydelig asymmetri mellom bosoner og fermioner i naturen. En murstein av denne modellen hadde imidlertid ennå ikke blitt observert: Higgs-bosonen som er ansvarlig for elektrosvakbruddet og eksistensen av en masse som ikke er null for materiefeltene ( elektron , kvarker etc.). Dette reiser spørsmålet om massen som bestemmer energinivået som vi muligens kan observere den.

Som vi introduserte da vi nevnte renormalisering, påvirker kvanteeffekter den observerte massen til alle partikler og spesielt Higgs-massen. Imidlertid, i motsetning til andre partikler, er Higgs boson et skalar felt . Fra et teknisk synspunkt og i motsetning til andre partikler, kan et skalarfelt motta ekstremt store korreksjoner til massen (det sies å være ubeskyttet ), og den eneste naturlige skalaen for disse korreksjonene er massen av Planck . Hvis Higgs, som vi håper, ikke finnes på slike energinivåer, og tvert imot det kan observeres i en skala av størrelsesorden TeV , er det nødvendig å finne en mekanisme som forklarer en observert masse hvis den er svak: det er problemet av hierarkiet som er et stort spørsmål fra et fenomenologisk synspunkt .

Supersymmetri, som postulerer eksistensen for hver boson av en tilhørende fermionisk partikkel og omvendt, ble først introdusert i 1971 . Det ville naturlig nok løse hierarkiproblemet fordi vi i dette tilfellet kan vise at korreksjonen til massen til Higgs av en gitt partikkel alltid blir kansellert av den av den supersymmetriske partneren. Til dags dato er det ikke noe annet forslag som løser hierarkiproblemet, og derfor har supersymmetri blitt et hovedbegrep innen teoretisk fysikk siden den tiden.

Ettersom supersymmetri ikke observeres i naturen, er det da nødvendig å innføre samtidig en mekanisme for å bryte supersymmetrien . Det er mange slike modeller, og det vil bare være mulig å skille mellom dem når supersymmetrien er observert, hvis den virkelig blir observert. Imidlertid har de alle det til felles at de spontant bryter supersymmetri ettersom disse modellene fremdeles inneholder en restaurering av høyenergi supersymmetri.

Formalisering

Se også

Relaterte artikler

Bibliografi

Generelle arbeider Historie og vitenskapsfilosofi

Eksterne linker

Merknader

  1. De fem vanlige konvekse polyedrene, definert av symmetriforhold mellom ansiktene deres (tetraeder, terning, oktaeder, dodekaeder og ikosaeder).
  2. Den kosmologiske samtiden brukte alltid denne isotropien av universet i stor utstrekning, men avviser dens sfæriske form og erstatter den med en antagelse om homogenitet , det vil si ved enhver oversettelsessymmetri ("  kosmologisk prinsipp  "). Denne hypotesen innebærer fravær av noe senter i universet, i motsetning til oppfatningen av grekerne, og gjør derfor isotropi kompatibel med fraværet av en sentral posisjon på jorden.
  3. Piezoelectricity , pyroelectricity ...
  4. Han sier her den grunnleggende matematiske tilhører grupper: eksistensen av en lov indre sammensetning . Dermed har en firkant en rotasjonssymmetri på kvart omdreining. Det vil si at det er uforanderlig for enhver rotasjonsmultipel på 90 °. To påfølgende rotasjoner av denne typen (for eksempel 90 ° og 180 ° - en halv omdreining), vil gjøre en annen flerdreining på 90 ° (tre fjerdedeler av en sving, i dette tilfellet). Plassen vil derfor forbli uforanderlig for enhver kombinasjon av denne typen rotasjon.
  5. Det er, undergrupper i moderne form.
  6. Dette skillet har en tendens til å bli uklare på generell relativitet , hvor rom-tid i seg selv, får den statusen av et fysisk objekt, men det er likevel nyttig å skille mellom de symmetriene som virker på det og de som virker på andre gjenstander. Fysisk.
  7. Vi snakker om en matematisk sfære, i det daglige språket, vi kan forstå det som en perfekt sfære
  8. Mer presist, operatøren må være lineær og enhetlig, ellers anti- lineær og anti-enhet
  9. Vi skriver her en total og ikke-partiell differensialkvotient fordi det er nødvendig å ta hensyn til den tidsmessige variasjon av ikke-reduserbare operatørene i henhold til hvilke uttrykkes og som i seg selv er avhengig av tid i Heisen representasjon.
  10. I dette tilfellet er det strengt tatt ingen symmetri.
  11. Den ferromagnetiske overgangen sies å være av andre rekkefølge fordi magnetiseringen varierer kontinuerlig når den kritiske temperaturen passerer.
  12. Tilstedeværelsen av en masse, som er en dimensjonert mengde, ikke null, ville løse en naturlig målestokk av teori og ville forklare fraværet av skalaen symmetri i dette tilfellet.
  13. 4. juli 2012 kunngjorde CERN på en konferanse at det med et konfidensnivå på 99,99997% (5 σ) hadde identifisert et nytt boson i et massedomene i størrelsesorden 125–126 GeV⋅c-2, som virker kompatibel med Higgs-bosonen. 15. mars 2013 bekrefter CERN at det med all sannsynlighet faktisk er Higgs boson
  14. Som ser ut til å være tilfelle fra de siste observasjonene gjort av LEP, og som burde avvente bekreftelse fra LHC .

Referanser

  1. "  I tillegg til den eldgamle forestillingen om symmetri brukt av grekerne og romerne (nåværende frem til slutten av renessansen), oppsto en annen forestilling om symmetri i det syttende århundre, ikke basert på proporsjoner, men på et likestillingsforhold mellom elementer som er motsatt, for eksempel venstre og høyre del av en figur.  " Brading og Castellani i 2013 , 1. Konseptet med symmetri.
  2. Curie 1894 , s.  400.
  3. Curie 1894 , s.  401.
  4. (i) Claude Itzykson og Jean-Bernard Zuber  (de) , kvantefeltteori , Dover ,Februar 2006, 705  s. ( ISBN  978-0-486-44568-7 , les online )
  5. (en) Yu.A. Golfand, EP Likhtman, Extension Of Algebra Of Poincare Group Generators And Violation of P Invariance , JETP Lett. 13: 323-326, 1971.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">