I matematikk, og mer presist i algebra , indikerer Abels teorem , noen ganger kalt Abel-Ruffini-teorem eller Ruffini- teorem , at for et heltall n større enn eller lik 5, er det ingen generell formel som uttrykker "av radikaler" røttene til noe polynom grad n , det vil si med formel bare ved hjelp av koeffisientene, verdien 1, de fire operasjoner og ekstraksjon av n -te rot . Dette i motsetning til grader 2 , 3 og 4 hvor slike generiske formler eksisterer, den mest kjente er at for grad 2, som uttrykker oppløsningene av ax 2 + bx + c = 0 i form ( - b ¡± √ b 2 - 4 ac ) / 2 a .
Dette resultatet uttrykkes først av Paolo Ruffini , deretter nøye demonstrert av Niels Henrik Abel . En senere setning av Évariste Galois gir en nødvendig og tilstrekkelig forutsetning for at en polynomligning kan løses av radikaler. Denne mer presise versjonen gjør det mulig å vise ligninger av grad 5 , med heltallskoeffisienter , hvis komplekse røtter - som eksisterer i henhold til d'Alembert-Gauss-teoremet - ikke uttrykkes av radikaler.
Alle feltene som er vurdert i denne artikkelen antas å være kommutative og ha null karakteristikk .
Abels teorem og d'Alembert-Gauss teorem er de to grunnleggende setningene i ligningsteori , det vil si teorien som omhandler polynomiske eller ekvivalente ligninger . En ligning sies å være polynom hvis den har formen P ( x ) = 0, hvor P betegner et polynom. Teoremet d'Alembert-Gauss indikerer at en polynomligning med komplekse koeffisienter har minst en kompleks rot.
Numeriske metoder som Newtons eller Laguerres metode gjelder uavhengig av graden av ligningen. Hvis n , graden av polynom, er liten, finnes det også såkalte algebraiske metoder for å løse ligningen. Således, dersom n er lik 2, og hvis P er skrevet aX 2 + bx + c , disse løsninger er angitt ved den klassiske formel ( - b ¡± √ b 2 - 4 ac ) / 2- en , hvor b 2 - 4 ac er diskriminerende for polynomiet; vi sier at √ b 2 - 4 ac er en radikal . Lignende (men mer kompliserte) formler finnes for polynomer av grad 3 eller 4, som vist ved metodene til Cardan og Ferrari .
Men for grader som var strengt større enn 4, og til tross for flere hundre års innsats, var det ikke funnet noen generell formel som ligner på gradene 2, 3 og 4. Abels teorem uttrykker det faktum at det ikke finnes noen slik formel. En metode for å uttrykke røtter er imidlertid å benytte seg av en familie av funksjoner som er større enn den for n - røtter , slik som for elliptiske funksjoner ; men de oppnådde formlene har bare en teoretisk interesse; i praksis er det mye mer interessant å få tilnærmet verdier ved å bruke for eksempel Newtons metode .
Uttrykket som Abel brukte i hans memoarer fra 1824 er som følger:
Abels teorem - Det er umulig å løse den generelle ligningen av den femte graden av radikaler.
Abel legger til at ”Det følger umiddelbart av denne teoremet at det heller ikke er mulig å løse radikale de generelle ligningene av grader større enn den femte. "
Évariste Galois er forfatteren av en mer komplett form for teoremet. Hans metode er den som vanligvis brukes til å bevise setningen. Denne formuleringen tar navnet på Galois- setningen eller Abel-Galois-teoremet , noen ganger er ikke noe navn angitt. Formuleringen er mer generell fordi den gjelder et hvilket som helst felt K (kommutativt og med null karakteristikk, som kunngjort i innledningen) og indikerer om en algebraisk ligning kan løses av radikaler eller ikke.
Galois-setning - En polynomligning med koeffisienter i K kan løses av radikaler hvis og bare hvis Galois- gruppen er løsbar .
La K en kropp og L en forlengelse av K .
Uttrykket av Galois ' teorem ovenfor bruker forestillinger fra hans teori . Den splitting felt l av P betyr den minste felt som inneholder K , og alle røttene i P . Det er derfor en endelig forlengelse og normal til K . Hypotesen om at K har null karakteristikk, sørger blant annet for at den er perfekt , det vil si at ethvert irreduserbart polynom med koeffisienter i K er med enkle røtter . Forlengelsen L av K kan derfor også skilles . Oppsummert: L er en endelig endelig K fra Galois .
En nøkkel struktur for å studere en slik forlengelse er dens Galois-gruppe : en gruppe av kropps automorphisms av L feste hvert element K . Vi beviser at rekkefølgen til Galois-gruppen av en endelig Galois-utvidelse er lik graden av utvidelsen (ikke å forveksle, for utvidelsen L av K , med graden av polynomet P ).
Den sentrale forestillingen om teoremet er en løselig gruppe . De første eksemplene på løsbare grupper er de abeliske gruppene . De følgende eksempler er grupper G som har en undergruppe normal abelsk G 1 som den kvotient gruppe G / G ett eller abelsk. Generelt:
En gruppe G sies å være løses når der foreligger en endelig sekvens G 0 , G 1 , ..., G k av undergrupper av G slik at:
hvor G jeg , for alle i mellom 0 og k - 1, er en normal undergruppe av G i en slik at kvotienten gruppen G i en / G i er abelsk. Gruppe I betegner her den trivielle gruppen .
En oversikt over ligningsteorien, som særlig omhandler Abels teorem, er gitt i artikkelen " Theory of equations (science of science) ".
Hvis den første systematiske studien av algebraiske ligninger går tilbake til VIII th århundre , i The compendious Bok om beregning av Ferdigstillelse og balansere den iranske matematiker på arabisk Al-Khwarizmi , ideen om å kombinere en konsernstruktur ligning vises bare XVIII th århundre . Joseph-Louis Lagrange fremhever forholdet mellom egenskapene til en gruppe permutasjoner av røtter og muligheten for å løse en kubisk eller kvartisk ligning . Hvis det er mulig å se i disse verkene opprinnelsen til bruken av permutasjoner på dette feltet, blir derimot verken komposisjonsloven eller settet med permutasjoner brukt som en riktig struktur. Dens tilnærming er imidlertid tilstrekkelig til å sette alvorlig tvil om eksistensen av en formel som uttrykker røttene til ethvert polynom av grad n , hvis n er strengere enn 4.
Paolo Ruffini er den første som bekrefter at den generelle ligningen og spesielt den kvintiske ligningen ikke innrømmer en løsning. Det tar igjen tilnærmingen til Lagrange som viser at alle metodene som hittil er brukt, kommer tilbake til spesielle tilfeller av en mer generell tilnærming. Ruffini viser at Lagranges metode ikke, for ligningen av grad 5, kan gi en formel som tilsvarer den til Cardan for grad 3. Han ga ut en bok om dette spørsmålet i 1799.
Det vitenskapelige samfunnet anerkjente ikke arbeidet hans. Han sendte boka si til Lagrange i 1801, men fikk ikke svar. En offisiell presentasjon for Academy of Sciences er ikke mer vellykket. Matematikerne Lagrange , Legendre og Lacroix er ansvarlige for å vurdere gyldigheten av beviset hans. Rapporten beskriver hans arbeid som uviktig, hans demonstrasjon har et gap, ingenting tyder på at det ikke ville eksistere andre metoder, forskjellig fra Lagrange og derfor fra alle de som hittil er funnet, og som vil tillate en løsning av radikale. Et nytt forsøk på English Royal Society får en mer sympatisk respons: hvis slikt arbeid ikke faller innenfor dets kompetanse, ser resultatene likevel ikke ut til å inneholde feil. To andre publikasjoner i 1803 og 1808 var neppe mer vellykkede. For datidens matematikere er resultatet enten falsk eller anekdotisk. Bare Augustin Louis Cauchy forstår dybden i arbeidet sitt. Han sendte ham et brev i 1821 der han angav både gyldigheten og betydningen av spørsmålet som ble behandlet. Cauchy generaliserer resultatet på permutasjonene i bunnen av Ruffinis arbeid.
Etter et mislykket forsøk i 1821 publiserte den norske matematikeren Niels Henrik Abel , for egen regning, en kort seks sider lang tekst. I motsetning til arbeidet til Ruffini representerer dette dokumentet et fullstendig bevis på setningen. Han oppnår likevel en misforståelse som den i de foregående tekstene. Selv Carl Friedrich Gauss anser emnet som irrelevant. Abels brev vil bli funnet etter Gauss 'død uåpnet. I 1801 hadde denne matematikeren i sin avhandling uttrykt at søket etter løsning av radikaler var uten interesse, det var nok å gi roten noe navn. Det er sant at når det gjelder numerisk teknikk, er det mye enklere å bruke en metode som Newtons for å oppnå en omtrentlig verdi av en rot; oppløsningen av radikal har ikke lenger den XIX th århundre samme interesse han hadde i tidligere århundrer for numerisk beregning. Og hvis det ikke er for å få en numerisk tilnærming, kan du like godt bruke en bokstav for å beskrive roten. Selv Cauchy, som mottok Abel i 1826 , vil neppe ta en titt på arbeidet hans.
Andre artikler ble skrevet mellom 1826 og 1828, og inneholdt bevis for at det generelt ikke var mulig å løse det. Abels arbeid overbeviste til slutt det vitenskapelige samfunnet. I 1830 fant Cauchy sitt manuskript, og Abel endte opp med å skaffe grand prix i matematikk fra vitenskapsakademiet samme år posthumt.
Etter Abels arbeid mangler bare tre elementer for et endelig uttrykk for teoremet: en effektiv tilnærming, den nødvendige og tilstrekkelige tilstanden for oppløselighet i ligningen og en dyp forståelse av mekanismene som muliggjør oppløselighet. Det er Évariste Galois som oppnår disse tre fremskrittene.
Hans tilnærming lider av den samme misforståelsen som forgjengerne. Hans første skrifter, presentert for Academy of Sciences i 1829, er definitivt tapt. En memoar skrevet av Galois i 1831 ble gjenoppdaget og utgitt av Joseph Liouville , som presenterte den for det vitenskapelige samfunnet i 1843 i disse vilkårene: “[...] Jeg håper å interessere akademiet ved å kunngjøre at jeg i papirene til Évariste Galois har funnet en så nøyaktig løsning som den er dyp på dette vakre problemet: Gitt en irredusibel første grads ligning, avgjør om den skal løses ved bruk av radikaler. Bidraget til Galois er stort; G. Verriest beskriver det i følgende termer: “Galois's genius stroke er å ha oppdaget at kjernen i problemet ikke ligger i det direkte søket etter mengdene som skal tilsettes, men i studien av naturen til gruppen av ligning. Denne gruppen […] gir uttrykk for graden av skiller ikke røttene […]. Det er derfor ikke lenger graden av en ligning som måler vanskeligheten med å løse den, men det er gruppens natur. "
Hvis P er et cyklotomisk polynom , dvs. en ikke-reduserbar deler, i ℚ [ X ], av et polynom med formen X n - 1, er ligningen P ( x ) = 0 trivielt løselig av radikaler. Abels teorem er bekreftet i dette tilfellet, siden Galois-gruppen i den tilsvarende syklotomiske utvidelsen er abelsk (derfor løselig). Mer presist, den Galois-gruppen i cyclotomic polynomet Φ n er isomorf med gruppen av enheter med ringen ℤ / n ℤ .
La oss bemerkes i forbifarten at en mer inngående studie (jf. " Gauss-Wantzels teorem ") avgjør under hvilken tilstand ligningen Φ n ( x ) = 0 ikke kan løses av radikaler (av hvilken som helst rekkefølge) men av kvadratrøtter . , tilstand som tilsvarer konstruksjonen til linjalen og kompasset til den vanlige polygonen med n hjørner.
Tenk på tilfellet der polynomet P er av grad 2 med rasjonelle koeffisienter som ikke har noen rasjonell rot. Selv om det betyr å dele P med sin dominerende koeffisient, kan det antas å være enhetlig :
Betegn x 1 og x 2 de to røttene til ligningen. Vi kan utlede:
Ettersom utvidelsen er Galois og av grad 2 , er Galois-gruppen av orden 2: de to elementene er identiteten til L og symmetrien som fikser rasjonellene og utvekslingene x 1 og x 2 . Så det eksisterer en basis (1, r ) av ℚ- vektorrommet L og en rasjonell a slik at x 1 = a + r og x 2 = a - r .
Vi kan utlede:
Galois-gruppen tillater derfor en effektiv oppløsning av den kvadratiske ligningen.
Den metode for Cardan gjør det mulig å trekke ut eller røtter av et polynom av grad 3 i det generelle tilfellet.
GenerellTenk på tilfellet der polynomet P er av grad 3 med rasjonelle koeffisienter og ikke- reduserbar . Selv om det betyr å dele P med sin dominerende koeffisient og oversette variabelen, kan vi anta at P er av formen:
Betegn med x 1 , x 2 og x 3 de tre ( forskjellige ) røttene til ligningen. Av
vi utleder:
Galois-gruppen G av P er en undergruppe av den symmetriske gruppen S 3 . Rekkefølgen av denne undergruppe er lik med størrelsen på ℚ dekomponering legeme L . Det er derfor et multiplum av tre, ettersom L inneholder roten som har minimal polynom er av grad 3 G er derfor isomorf enten til S 3 (av størrelsesordenen 6), eller til dens unike undergruppe av orden 3, vekslende gruppe A 3 .
I begge tilfeller, G er løsbar (fordi A 3 er normalt i S 3 , og A 3 , og S 3 / A 3 er abelsk, og til og med syklisk ), slik Abels teorem garanterer at polynomet er også.
Bestemmelse av Galois-gruppenTenk på elementet som ikke er null av L : δ = ( x 1 - x 2 ) ( x 2 - x 3 ) ( x 3 - x 1 ) . For ethvert element g av G , g ( δ ) = ε ( g ) δ , hvor ε ( g ) betegner signaturen til permutasjonen utført av g på de tre røttene. G reduseres derfor til A 3 hvis og bare hvis δ er uforanderlig av alle elementene i G , det vil si (se egenskap 3 i avsnittet om den grunnleggende setningen til Galois-teorien ) hvis og bare hvis δ er rasjonell. Vi beviser også (se artikkelen “ Diskriminerende ”) at δ 2 = –4 p 3 - 27 q 2 . Vi kan utlede:
Galois-gruppen av P er isomorf til A 3 hvis –4 p 3 –27 q 2 er kvadratet til en rasjonell, og til S 3 ellers.
RotberegningEn måte å finne Cardans formler på er å spørre:
,hvor j og j 2 betegner enhetens to primitive kubiske røtter .
Faktisk oppnår vi således:
og så gjenstår bare å beregne u og v som en funksjon av polynomets koeffisienter:
, .Følgende ligningssystem gjør det mulig å konkludere:
Ligningen er derfor ganske løselig av radikaler, som gitt av Abels teorem og beregningen av Galois-gruppen. Mer presist: ved kvadratrøtter (for uttrykk for j og j 2 og beregningen av u 3 og v 3 ) og kubikk (for å trekke ut u og v ).
Disse elementene u og v har følgende tolkning i Galois-teorien. Vi har sett at G inneholder minst veksel gruppe A 3 , det vil si at det foreligger en automorphism m av L (av størrelsesordenen 3) feste rationals og verifisere:
Anta først at L inneholder j og j 2 . Ethvert element i underfeltet ℚ [ j ] er av grad 1 eller 2 på ℚ, derfor fiksert av m . Vi kan derfor betrakte m som en endomorfisme av ℚ [ j ] -vektorrommet L , og vektorene, og vises deretter som riktig for m , siden ved konstruksjon,
Når L ikke inneholder j og j 2 , sjekker vi at den ikke inneholder andre elementer av ℚ [ j ] enn rasjonelle tall , som gjør det mulig å naturlig utvide m til en ℚ [ j ] -automorfisme av L [ j ] for hvilken , på samme måte er u og v riktige.
Den Ferrari-metoden gjør det mulig å trekke ut roten (e) av et polynom av grad 4 i det generelle tilfellet.
Den detaljerte artikkelen viser at Galois-gruppen på ℚ av polynomet P ( X ) = X 5 - 3 X - 1 er den symmetriske gruppen S 5 , som ikke er løselig. Ligningen P ( z ) = 0 er derfor ikke løselig av radikaler, dvs. det er ikke mulig å uttrykke røttene til dette polynomet fra heltall ved hjelp av de fire vanlige operasjonene og radikaler, noe som viser at det ikke er mulig å finne et uttrykk for røttene i det generelle tilfellet av en ligning av den femte graden, slik man kan gjøre for ligningene av grad 1, 2, 3 eller 4.
Merk. Det er upassende å si at ligningen P ( z ) = 0 ikke er løselig. Denne ligningen har 5 røtter som tilnærmer seg så presist som man ønsker og som uttrykkes nøyaktig ved hjelp av elliptiske integraler .
For ethvert heltall n ≥ 2 eksisterer det en uendelig mengde polynomer (irredusible og grad n ) med heltallskoeffisienter hvis Galois-gruppe på ℚ er den symmetriske gruppen S n eller for n ≥ 5, er denne gruppen ikke løselig .
DemonstrasjonDenne konstruksjonen bruker en teorem om Richard Dedekind om modulo p reduksjon av Galois-grupper , sammenføyet med følgende to fakta:
Vi velger tre separerbare enhetspolynomer av grad n :
deretter et enhetlig polynom P med grad n med heltallskoeffisienter hvis modulo 2, 3 og 5 reduksjoner er lik P 2 , P 3 og P 5 : P er irredusibel siden P 2 er, derfor virker Galois-gruppen sin transitt på sine n røtter, og den inneholder en transponering (ved valg av P 3 ) og en ( n - 1) -syklus (ved valg av P 5 ). Denne undergruppen er derfor S n helt.
La n graden av en endelig Galois forlengelse L i K . Dens Galois-gruppe G er derfor av orden n .
Vi først behandle det tilfelle hvor G er abelsk, forutsatt først, som i kardang-metode (i hvilket tilfelle n = 3, svarer til det tilfelle hvor G er abelsk), at K inneholder n røtter n - ths av enheten . Vi blir deretter kvitt denne hypotesen.
Ved antagelse, nedbryting legeme l av P er inneholdt i en forlengelse K (α 1 , ..., α k ), slik at det for hver enkelt i mellom 1 og k , α i n jeg hører til K (α 1 , ..., α i - 1 ) for noe naturlig tall n i . Vi kan åpenbart videre anta (ved hjelp av at α uv = (α u ) v og setter inn mellomradikaler) at hver n i for i > 1 er et primtall , og at forlengelsessekvensen begynner med tilsetning av en primitiv rot n 1 -th av enheten α 1 , for n 1 lik produktet av disse primtallene. Vi viser nedenfor, ved induksjon på i , at hver forlengelse K (α 1 ,…, α i ) av K da er Galois og av en løsbar gruppe. I følge den grunnleggende teoremet til Galois-teorien , er Galois- gruppen i underekstensjonen L da også løsbar, som et kvotient for K (α 1 ,…, α k ).