Algebraisk heltall

I matematikk er et algebraisk heltall et element i et tallfelt som spiller en rolle der analog med det til et relativt heltall innen rasjonelle tall . Studiet av algebraiske heltall er grunnlaget for tallfeltets aritmetikk, og generaliseringen i disse felt av forestillinger som primtall eller euklidisk inndeling . Per definisjon er et algebraisk tall en rot av en enhet polynom med koeffisientene i ℤ. For eksempel er tallet 1 + √ 3 et algebraisk heltall, fordi det er en rot av enhetens polynom med heltallskoeffisienter X 2 - 2 X - 2. Tallene på skjemaet $a + b i$ der $a$ og $b$ er relative heltall og hvor $jeg$ betegner en rot av polynomet X 2 + 1 er også spesielle algebraiske heltall; de kalles Gaussiske heltall .

Denne definisjonen har dukket opp i løpet av XIX th -tallet , spesielt i arbeidet med Richard Dedekind fordi det gir en tilstrekkelig konsept for å utvikle aritmetikk i nummerfeltet . En annen bruk av disse tallene er oppløsningen av diofantiske ligninger , det vil si polynomiske ligninger med koeffisienter i de relative heltallene, og hvis heltalsløsninger blir søkt. Eksempler er Fermats to-firkantede setning , Fermats siste setning eller Pell-Fermat-ligningen . I tillegg gir forståelse av strukturen til en ring av heltall en bedre forståelse av den opprinnelige kroppen. Teknikkene som er utviklet for å beskrive egenskapene til slike ringer, brukes til å demonstrere grunnleggende teoremer på tallfelt som for eksempel Kronecker-Weber .

Definisjoner

Et algebraisk heltall er en rot til et enhetspolynom med koeffisienter i ℤ.

De algebraiske heltallene danner en ring : summen, forskjellen eller produktet av to algebraiske heltall er fremdeles et algebraisk heltall.

Skjæringspunktet mellom denne ring (kommutativ unital) integreres med et delfelt K av ℂ kalles ring av heltall av K , ofte betegnet O K .

Et algebraisk heltall er spesielt et algebraisk tall . Som sådan genererer det et tallfelt , det vil si en endelig utvidelse av feltet ℚ av rasjonelle tall . Men ikke alle algebraiske tall er algebraiske heltall (f.eks. 1/2 er algebraisk, men ikke heltall). For ethvert algebraisk tall α, med minimalt polynom P :

α er et algebraisk heltall hvis og bare hvis P har koeffisienter i ℤ;
det eksisterer et helt tall n > 0 slik at n α er et algebraisk heltall (det er tilstrekkelig å ta for n produktet av nevnerne til koeffisientene til P ).

Begrepet algebraiske heltall er et spesielt tilfelle av heltallelementer i en utvidelse av ringer:

La A være en kommutativ ( enhetlig ) ring og B være en A- algebra . Et element av B sies å være heltall på A hvis det blir kansellert av et enhetspolynom med koeffisienter i A. Underringen til B bestående av heltallelementer på A kalles integrallukking av A i B.

Dermed er ringen av algebraiske heltall den integrerte lukkingen av ℤ i ℂ og ringen av heltall av et underfelt K av ℂ er den integrerte lukkingen av ℤ i K.

Den integrerte lukkingen av en integrert ring er per definisjon dens integrerte lukking i kroppen av fraksjoner . Ringen sies å være helt lukket hvis hele gjerdet reduseres til seg selv.

Eksempler

Relative heltall

Feltet med brøkdelene av ring ℤ er feltet ℚ, og ringen av heltall av ℚ er ℤ, med andre ord:

De eneste rasjonelle tallene som er algebraiske heltall er relative heltall.

Eller igjen: ringen ℤ er helt lukket . (Mer generelt er enhver faktorring helt lukket.)

Gauss heltall

Ringen ℤ [ $i$ ] av Gaussiske heltall er underringen til ℂ som består av tall i form a + b $i$ med a og b relative heltall. Dens fraksjonsfelt er feltet ℚ ( $i$ ) av Gauss-rasjonelle , sammensatt av komplekser av formen α + β $i$ der α og β er rasjonelle tall.

Ringen av heltall på ℚ ( $i$ ) er ℤ [ $i$ ].

Igjen er denne ringen helt lukket . Det er faktisk, som ℤ, faktorielt fordi det er prinsipielt og til og med euklidisk .

Gaussiske heltall brukes til å løse visse Diophantine-ligninger som for eksempel Fermats to kvadratsetning .

Kvadratisk heltall

Den gaussiske heltallringen er prototypen til heltallringen til et kvadratisk felt, dvs. et felt med formen ℚ ( $\sqrt d$ ) for et bestemt relativt heltall d uten en kvadratfaktor . I tilfelle der d er negativ , betegner notasjonen $\sqrt d$ , spesifikk for denne sammenhengen og kommentert i de to detaljerte artiklene, den rene imaginære $i$ $\sqrt | d |$ ; således tilsvarer Gaussiske heltall tilfelle d = –1. Men for andre verdier av d , som d = 5 , blir ikke ringen av heltall på ℚ ( $\sqrt d$ ) redusert til ℤ [ $\sqrt d$ ]. Mer presist :

Ringen O ℚ ( $\sqrt d$ ) av heltall i kvadratfeltet ℚ ( $\sqrt d$ ) er ℤ [ω], hvor det komplekse tallet ω er definert av:

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {1 + {\ sqrt {d}}} {2}} {\ text {si}} d \ equiv 1 {\ text {mod}} 4 \ quad {\ text {and }} \ quad \ omega = {\ sqrt {d}} {\ text {ellers.}}}

Feltet til brøkdelene av denne ringen, så vel som enhver underring A som inneholder strengt ℤ, er lik ℚ ( $\sqrt d$ ), og den integrerte lukkingen av A i ℚ ( $\sqrt d$ ) er O ℚ ( $\sqrt d$ ) ( jf. § “Fullt lukket ring” nedenfor ). Derfor er O ℚ ( $\sqrt d$ ) , som ℤ, helt lukket, men ingen mellomring er. Disse mellomringene er fortiori ikke-faktorielle (derfor ikke-prinsipielle): i alle disse ringene (siden de ikke er eteriske, som ℤ [ω] ), har ethvert element som ikke er null, nedbrytning til produkt av irredusible elementer, men ikke alltid unikt , eller, som tilsvarer det samme, ikke alltid som et produkt av hovedelementer .

Siden -3 for eksempel er kongruent til 1 modulo 4, er ringen av heltall av of ( $i$ √ 3 ) ringen ℤ [(1 + $i$ √ 3 ) / 2] av Eisenstein (euklidisk, og lik ℤ [ $j$ ] hvis $j$ betegner en primitiv kubisk rot av enhet ). Underringen ℤ [ $i$ √ 3 ] er ikke faktisk: i denne underringen innrømmer heltallet 4 to nedbrytninger til irreduserbare faktorer:

{\ displaystyle 4 = 2 \ times 2 = (1+ \ mathrm {i} {\ sqrt {3}}) (1- \ mathrm {i} {\ sqrt {3}}).}

Selv ringen av heltall på ℚ ( $\sqrt d$ ), selv om den er helt lukket, er ikke alltid en faktor, som vist med eksemplet d = –5 og Stark-Heegner-teoremet .

Struktur

Interessen for ringen av algebraiske heltall i et kvadratisk eller cyklotomisk felt , eller mer generelt i et tallfelt , ligger i dets tilleggsegenskaper. De er kilden til noen demonstrasjoner av den kvadratiske gjensidighetsloven eller andre gjensidighetslover (in) og mange andre teoremer . De lar løse ligninger som Pell eller noen tilfeller av Fermats siste setning .

Helt lukket ring

Ethvert felt med tall K er feltet for brøkene av ringen O K av heltallene, og O K er integrert lukket .

Den første egenskapen er at et hvilket som helst algebraisk tall er et produkt av en algebraisk heltall med en rasjonell ( jf § "Definisjoner" ovenfor ), slik at K = ℚ O K . Det andre resultatet av det fordi ethvert helt element på en ring av algebraiske heltall i seg selv er et algebraisk heltall ( jf. Resultat 2 av artikkelen "Integer element" ).

Noetherian egenskaper

Ringen av heltall i et tallfelt er en endelig type ℤ-modul , ved anvendelse på A = ℤ av følgende generelle egenskap, demonstrert i den detaljerte artikkelen i det spesielle tilfellet, tilstrekkelig her, hvor A er ikke eterisk og helt lukket:

La A være en integrert ring, K dens felt av fraksjoner, L en endelig forlengelse som kan skilles fra K og B den integrerte lukkingen av A i L. Da er B en A- modul av endelig type.

Vi trekker frem to viktige egenskaper:

Ringen av heltall i et tallfelt av grad d er en fri ℤ- modul av rang d .

Denne endelige typen ℤ-modul er faktisk torsjonsfri og derfor fri, og (som nevnt i forrige avsnitt) er produktet med by lik tallfeltet.
(Andre argumenter kan brukes:
- i den detaljerte artikkelen, for å demonstrere at A- modulen er av endelig type, viser vi faktisk at den inneholder en submodul isomorf til A d og at den er i seg selv - til og med isomorf til en submodul av A d ;
- et lemma om konjugerte elementer tillater oss å si at ringen av heltall i et tallfelt av grad d er additivt isomorf til et gitter i ℂ d .)

Enhver ring av heltall i et tallfelt er noetherian.

Faktisk er en hvilken som helst submodul av en endelig type ℤ-modul av endelig type, og det følger av Hilberts grunnsetning at enhver endelig type algebra på en Noetherian ring i seg selv er en Noetherian ring.

Dedekind Ring

Ringen av algebraiske heltall i et tallfelt, i tillegg til å være fullstendig lukket og Noetherian, bekrefter at alle dets primære idealer som ikke er null er maksimale , noe som gjør det til en Dedekind-ring.

Denne egenskapen er demonstrert (§ “Algebraisk heltall”) og generalisert (§ “Endelig utvidelse”) i den detaljerte artikkelen.

Enhetsgruppe

Se også

Relaterte artikler

Norm (kroppsteori)
Orden (ringteori)
Bezout- ring (ringen av algebraiske heltall er en)

Bibliografi

Bourbaki , Elementer i matematikk , Kommutativ algebra
GH Hardy og EM Wright ( oversatt fra engelsk av François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Introduksjon til tallteori , Paris / Heidelberg, Vuibert-Springer,2007, 568 s. ( ISBN 978-2-7117-7168-4 )
(en) Kenneth Ireland og Michael Rosen , En klassisk introduksjon til moderne tallteori , Springer, koll. " GTM " ( N o 84);1990( Repr. 1998), to th ed. , 389 s. ( ISBN 978-0-387-97329-6 , les online )
Pierre Samuel , algebraisk tallteori [ detalj av utgaven ]
Jean-Pierre Serre , aritmetikkurs ,1970[ detalj av utgaver ]

Eksterne linker

Bas Edixhoven og Laurent Moret-Bailly , algebraisk tallteori, masterkurs i matematikk , Universitetet i Rennes 1 ,2004( les online )
Algebraiske tall og tall p-adic av Loïc Merel, forberedende kurs til doktorgradsstudier 2003-04, University Pierre og Marie Curie , University Denis Diderot