Derivatfunksjon

I matematikk , enkelte funktorer kan avledes for å oppnå nye funktorer naturlig sammen med morphisms til de av avganger. Denne abstrakte forestillingen gjør det mulig å forene konkrete konstruksjoner som griper inn i mange matematikkfelt. Det er ikke knyttet til forestillingen om avledning i analysen.

Motivasjon

Begrepet avledet funktor er utformet for å gi et generelt rammeverk for situasjoner der en kort eksakt sekvens gir opphav til en lang eksakt sekvens.

Gis en funktor F : A → B mellom abelsk kategoriene A og B . Vi antar at F er nøyaktig til venstre , det vil si at for en kort eksakt sekvens av objekter i kategori A :

0 \ til A \ til B \ til C \ til 0

så er følgende sekvens nøyaktig:

0 \ til F (A) \ til F (B) \ til F (C)

Det er da naturlig å lure på om vi kan utvide denne sekvensen til en nøyaktig sekvens, og om vi kan gjøre det på en kanonisk måte. Funksjonene avledet fra funksjonen F vil da være, for alle i ≥ 1, funksjonene R i F : A → B , slik at følgende sekvens er nøyaktig:

0 \ til F (A) \ til F (B) \ til F (C) \ til R ^ 1F (A) \ til R ^ 1F (B) \ til R ^ 1F (C) \ til R ^ 2F (A ) \ til \ cdots

F er derfor riktig eksakt hvis og bare hvis funksjonen R 1 F er triviell. Derivative funktorer måle således i en viss forstand nøyaktigheten av feilen F .

Bygg og første eiendommer

Vi antar at kategorien En har nok injektiv gjenstander (en) - en abstraksjon av begrepet injektiv modulus - det vil si at for ethvert objekt A i A eksisterer det en monomorphism A → jeg hvor jeg er en injektiv objekt i A .

Er en funktor eksakt covariant venstre F : A → B og et objekt X i A . Ved hypotesen på A kan man konstruere en oppløsning (in) injeksjon av X ( dvs. en eksakt sekvens lang der I i for i ≥ 0 er injeksjonsmidler)

$0 \ til X \ til I ^ 0 \ til I ^ 1 \ til I ^ 2 \ til \ cdots$

Ved å bruke funksjonen F får vi komplekset av kjeder

$0 \ til F (X) \ til F (I ^ 0) \ til F (I ^ 1) \ til F (I ^ 2) \ til \ cdots$

Den cohomology ved i- th rang er da definert som R i F ( X ). Spesielt: R 0 F ( X ) = F ( X ). For å få et fullstendig bevis, bør følgende punkter kontrolleres: resultatet avhenger ikke, opp til isomorfisme, av valget av den injiserende oppløsningen på X , og for hver pil X → Y eksisterer det en pil R i F ( X ) → R i F ( Y ) som får R i F til å verifisere funksjonene til funksjonene.

Valget av triviell oppløsning, 0 → X → X → 0, hvis X i seg selv er injiserende, viser at R i F ( X ) = 0 for alle i ≥ 1 ( dvs. at X er acyklisk ).

Varianter

Det eksisterer en dobbel teori for en riktig eksakt funksjon G , denne gangen antar vi at kategorien A har nok projiserende objekter - en abstraksjon av forestillingen om projeksjonsmodul . For et objekt X av A vurderer vi en prosjektiv oppløsning:

\ cdots \ til P_2 \ til P_1 \ til P_0 \ til X \ til 0

Objektene P jeg er projeksjons. Den venstre-avledede funktorer L I G er da definert ved at for L i G ( X ) er homologien til den i th rang av komplekset som oppnås ved å anvende funktor G til denne oppløsningen. Igjen, L 0 G ( X ) = G ( X ). Den lange eksakte sekvensen oppnådd fra en kort eksakt sekvens:

0 \ til A \ til B \ til C \ til 0

er skrevet her:

\ cdots \ til L_2G (C) \ til L_1G (A) \ til L_1G (B) \ til L_1G (C) \ til G (A) \ til G (B) \ til G (C) \ til 0

Den analoge kanselleringsegenskapen oppnås denne gangen på projiserende gjenstander.

Vi kan også starte fra en motstridende funksjon F , og funksjonene som er avledet til høyre, er da selv motstridende og er definert fra prosjektive oppløsninger. Den korte eksakte sekvensen

0 \ til A \ til B \ til C \ til 0

blir i dette tilfellet forvandlet til:

0 \ til F (C) \ til F (B) \ til F (A) \ til R ^ 1F (C) \ til R ^ 1F (B) \ til R ^ 1F (A) \ til R ^ 2F (C ) \ til \ cdots

applikasjoner

Kohomologi av bjelker . La X være et topologisk rom , så er kategorien av skiver av abeliske grupper på X en abelisk kategori som inneholder nok injeksjonsobjekter (dette resultatet skyldes Alexandre Grothendieck ). Ved å assosiere gruppen L ( X ) med dens globale seksjoner med hver slik skive L , får vi en nøyaktig venstre funksjon, hvis høyre-avledede funksjoner er nøyaktig kohomologifunksjonene til skivene , vanligvis betegnet H i ( X , L ). Mer generelt, hvis ( X , O X ) er et ringet rom , så er kategorien av skiver av O X- moduler en kategori som inneholder nok injiserende gjenstander, og kohomologien til skivene er igjen konstruert som sekvensen av avledede funksjoner av funksjon av globale seksjoner.
Den Etale er en annen kohomologiteorier for moduler bjelker på et diagram .
Functioner Ext . La R være en ring , så er kategorien til alle R- modulene til venstre en abelsk kategori som inneholder nok injeksjonsgjenstander. Hvis A er et venstre-invariant R- modul, blir funksjonen Hom ( A , -) igjen nøyaktig, og dens høyre-avledede funksjoner er funksjonene Ext R i ( A , B ).
Tor-funksjon . Kategorien R- moduler til venstre inneholder også nok projiserende objekter. Hvis A er et venstre-invariant R- modul, så er tensorproduktet av A en nøyaktig høyre-nøyaktig kovariant-funksjon over kategorien venstre R- moduler; dens venstre-avledede funksjoner er funksjonene Tor R i ( A , B ).
Kohomologi av grupper . La G være en gruppe . En G- modul M er en abelsk gruppe M utstyrt med en gruppeaksjon av G på M av automorfismer. Tilsvarende er M forsynt med en modulstruktur på grupperingen Z [G]. De G -modules utgjør en abelsk kategori som inneholder nok injektiv stedene. La M G de undergruppeelementene M er løst av G . Vi definerer således en eksakt funksjon til venstre, hvis avledede funksjoner til høyre er gruppens kohomologifunktorer, betegnet H i ( G , M ).

Generalisering

En mer moderne og generell tilnærming bruker språket i avledede kategorier .