I matematikk , nærmere bestemt i differensialgeometri , en affin forbindelse er et geometrisk objekt som er definert på en differensial manifold som forbinder de mellomrom tangent naboene, og således gjør det mulig for deler av tangentvektorene å bli avledet som om de funksjoner som er definert på manifolden og tar sin verdier i et enkelt vektorrom. Begrepet affin forbindelse er forankret i geometrien fra XIX - tallet og tensor-beregningen , men ble fullt utviklet tidlig på 1920-tallet av Elie Cartan (som et spesielt tilfelle av forbindelsene (i) ) og Hermann Weyl (som brukte den delvis for å basere sin beskrivelse av generell relativitet ). Terminologien skyldes Cartan og finner sin opprinnelse i identifikasjonen av tangente rom i det euklidiske rommet R n ved oversettelser: ideen er at et valg av affin forbindelse gjør at et manifold ligner (lokalt) et euklidisk rom, ikke bare i et differensierbart vei på et punkt, men som et affinert rom .
På hvilken som helst manifold kan vi definere en uendelig mengde tilknytninger. Hvis manifolden har en Riemannian-beregning , er det et naturlig valg av affinitetsforbindelse, kalt Levi-Civita-forbindelsen . Valget av en affin forbindelse er ekvivalent med å definere en måte å utlede vektorfeltene som tilfredsstiller flere rimelige egenskaper ( linearitet , samt Leibnizs regel ). Dette gjør det mulig å definere en affin forbindelse som et kovariant derivat eller til og med som en (lineær) forbindelse på tangentbunten . Et valg av affin forbindelse er også ekvivalent med en forestilling om parallell transport , det vil si et middel for å transportere vektorene langs kurver i manifolden.
De viktigste invarianter av en affin forbindelse er dens krumning og vridning . Torsjonen måler feilen ved å erstatte Lie-derivatet i Lie-braketten av to vektorfelt med den affine forbindelsen. Affine-forbindelser kan også brukes til å definere geodesikk (affines) på en manifold, og generalisere rette linjer i det euklidiske rommet, selv om geometrien deres kan være veldig forskjellig fra vanlig geometri, på grunn av forbindelsens krumning.
En klasse manifold C ∞ (noen ganger kalt en “glatt” manifold) er en matematisk objekt lokalt ligner en jevn deformasjon av euklidsk plass R n ; for eksempel ligner en kurve eller en glatt overflate lokalt en linje eller et plan (buet). Som i det euklidiske rommet kan vi definere regelmessighetsklassen av funksjoner og vektorfelt på manifolder , og vi kan utlede skalarfunksjonene på en naturlig måte.
På den annen side, hvis differensieringen av vektorfelter er definert naturlig i et euklidisk rom, er det fordi vektorsettet ved et punkt p (tangensrommet ved p ) kan identifiseres naturlig (ved oversettelse) med tangensrom ved en nabopunkt q . Operasjonen av differensiering av vektorfeltene har ikke en umiddelbar betydning for en generell variasjon på grunn av mangel på å ha en slik identifikasjon mellom tette tangensrom, og for å kunne sammenligne tangentvektorer på forskjellige punkter (til og med nær) på en unik måte . Begrepet affin forbindelse ble introdusert for å løse dette problemet ved å favorisere en bestemt måte å koble til nærliggende tangentrom. Denne ideen kommer fra to hovedkilder: overflateori og tensor-beregning .
For en vanlig overflate S med tredimensjonalt euklidisk rom, er det en naturlig måte å koble tangentvektorene på nærliggende punkter. I nærheten av hvert punkt kan S nås med sitt tangensplan på dette punktet, som er et affint underrom av det euklidiske rommet. I det XIX th århundre, målere var interessert i begrepet utvikling (i) , det vil si bevegelsen av en rullende overflate til en annen uten dreining eller gliding. Spesielt tangentplanet ved et punkt S kan rulle over S . Under denne bevegelsen, beveger kontaktpunktet en kurve S . Omvendt, gitt en kurve på S , kan vi rulle tangensplanet langs denne kurven. Dette gjør det mulig å identifisere tangentplaner på forskjellige punkter på overflaten. Spesielt er en vektor som tangerer overflaten, som derfor tilhører tangensplanet ved et gitt punkt i kurven, identifisert med en enkelt tangentvektor på et hvilket som helst annet punkt i kurven. Disse identifikasjonene definerer alltid en affin transformasjon fra ett tangentplan til et annet.
Denne forestillingen om parallell transport av tangentvektorer langs en kurve, ved affine transformasjoner, har et karakteristisk aspekt: kontaktpunktet til tangentplanet med overflaten, når det følger kurven, beveger seg i planet ved transport parallelt; denne generiske tilstanden karakteriserer forbindelser Cartan (in) . I en mer moderne tilnærming blir kontaktpunktet tatt som opprinnelsen til tangentplanet (som deretter blir identifisert med et vektorrom), med andre ord korrigeres bevegelsen til dette punktet med en oversettelse, noe som gjør parallell transport lineær heller som foredler.
Fra synspunktet til Cartan-forbindelser, derimot, er de affine underområdene til det euklidiske rommet modellflater : de er de enkleste overflatene i det euklidiske rommet (i 3 dimensjoner), homogene under handlingen flyets affine gruppe ; hver glatte overflate har en unik tangentmodelloverflate på hvert punkt. Disse modellflatene er Klein- geometrier , i betydningen av Erlangen-programmet . Mer generelt er et affint rom med dimensjon n en Klein-geometri for affinagruppen Aff ( n ), hvor stabilisatoren til et punkt er den lineære gruppen GL ( n ). En affin manifold av dimensjon n er derfor en manifold som under uendelig forstørrelse ligner et affin rom av dimensjon n .
Den andre motivasjonen for affine forbindelser kommer fra forestillingen om et kovariant derivat av vektorfelt. Før utseendet til beregningsmetoder som ikke brukte koordinater, var det nødvendig å bruke komponentene i lokale kart for å manipulere vektorfelt . Disse komponentene kan avledes, men transformasjonen av disse derivatene i en koordinatendring kommer ikke til uttrykk bare. Korrigerende termer ble introdusert av Elwin Bruno Christoffel (tegnet på ideer fra Bernhard Riemann ) på 1870-tallet, slik at det (korrigerte) derivatet av et vektorfelt langs et annet endres fra kovariant måte ved å endre koordinater - disse korrigerende begrepene skulle senere kalles Christoffel symboler . Ideen var å føre til teorien om absolutt differensial kalkulus (nå tensor kalkulus ) utviklet av Gregorio Ricci-Curbastro og hans student Tullio Levi-Civita mellom 1880 og begynnelsen av XX th århundre.
Tensor-beregning skulle imidlertid bare ta av med utviklingen av Albert Einstein av hans teori om generell relativitetsteori i 1915. Noen år senere formaliserte Levi-Civita den unike forbindelsen knyttet til en Riemann-beregning, nå kjent som Levi-Civita-innlogging. navn . Mer generelle affineforbindelser ble studert rundt 1919 av Hermann Weyl , som utviklet de detaljerte matematiske grunnlagene for generell relativitet, og av Élie Cartan , som laget forbindelsen med geometriske ideer fra overflateori.
Denne komplekse historien har ført til utviklingen av ekstremt varierte tilnærminger til begrepet affin forbindelse og dets generaliseringer.
Den mest populære er uten tvil definisjonen motivert av kovariantderivater. På den ene siden ble ideene til Weyl utviklet av fysikere i form av målerteorier og kovariantderivater Gauge (in) . På den annen side ga Jean-Louis Koszul et abstrakt rammeverk for forestillingen om kovariant avledning ved å definere forbindelser (lineær eller Koszul) på vektorbunter . På dette språket er en affin forbindelse ganske enkelt en kovariant derivat eller en (lineær) forbindelse på tangentbunten .
Imidlertid forklarer denne tilnærmingen ikke det geometriske aspektet av affine forbindelser, eller navnet deres for den saks skyld. Sistnevnte har av reell opprinnelse identifikasjon ved oversettelse av tangensrom i det vanlige euklidiske rommet: denne egenskapen betyr at det euklidiske rommet med n dimensjoner er et affinert rom (vi kan også se det euklidiske rommet som et hovedrom homogent (in) under handlingen til oversettelsesgruppen, som er en undergruppe av den affine gruppen). Som vi sa innledningsvis, er det flere måter å presisere dette på: vi starter med det faktum at en affinforbindelse definerer en forestilling om parallell transport av vektorfelt langs en kurve. Dette definerer også en parallell transport på koordinatsystemet . Den uendelige minimale parallelle transporten i markørbunten gir en annen beskrivelse av affineforbindelsen, enten som en Cartan-forbindelse for affinegruppen Aff ( n ), eller som GL ( n ) -forbindelse på markørbunten.
La M være et differensialmanifold og C ∞ ( M , TM ) rommet for vektorfelt på M , det vil si rommet for glatte seksjoner av tangentbunten TM . En affinert forbindelse på M er et bilineært kart ∇ :
slik at for alle de "glatte" funksjonene (uendelig differensierbare) f ∈ C ∞ ( M , R ) og alle vektorfeltene X , Y på M , har vi:
Sammenligningen av tangentvektorer på forskjellige punkter i en manifold er ikke godt definert generelt. En affin forbindelse gir et middel for å avhjelpe dette, ved å bruke forestillingen om parallell transport, og omvendt, en slik forestilling gjør det mulig å definere en forbindelse.
La M være en manifold utstyrt med en affinert forbindelse ∇. Et felt av vektorer X sies å være parallelt hvis ∇ X = 0 i den forstand at, for ethvert felt av vektorer Y , ∇ Y X = 0. Intuitivt er et felt av vektorer derfor parallelt hvis alle dets derivater er null, dvs. hvis det er "konstant" i en viss forstand. Evalueringen ved to punkter x og y av et parallelt felt av vektorer gjør det mulig å identifisere en vektortangens ved x med en annen ved y ; slike vektorer vil bli sagt å bli transportert fra hverandre.
Dessverre eksisterer ikke parallelle felt av ikke-null-vektorer, selv ikke lokalt, fordi ligningen ∇ X = 0 er en delvis differensialligning som er overbestemt: integrerbarhetsbetingelsen (in) for denne ligningen er kanselleringen av krumningen til ∇ (se nedenfor). Men hvis vi begrenser denne ligningen til en kurve som går fra x til y , blir det en vanlig differensialligning , som har en unik løsning for hver startverdi på X ved x .
Mer presist, hvis γ : I → M er en (differensierbar) bane som er parameterisert med intervallet I = [ a , b ] og ξ ∈ T x M , hvor x = γ ( a ), et felt av vektorer X langs γ (og , spesielt, verdien av dette feltet ved y = γ ( b )) kalles den parallelle transporten av ξ langs γ hvis:
Formelt den første betingelsen betyr at X er parallell med forbindelses trukket tilbake på fiber induserer γ * T M . Imidlertid, i en lokal trivialisering , er denne tilstanden et system med lineære differensiallikninger , som har en unik løsning for hvert sett med startbetingelser gitt av den andre tilstanden, (ifølge Cauchy-Lipschitz-teoremet ).
Dermed gir parallell transport en måte å flytte vektorer som tangerer manifolden langs en kurve, ved hjelp av affinforbindelsen for å "holde retningen" i en intuitiv forstand, som definerer en (lineær) isomorfisme mellom mellomrom. Tangenter i begge ender av kurven. . Den således oppnådde isomorfien vil generelt avhenge av valget av kurven (for mer detaljer, se artikkelen holonomi ); hvis det ikke er tilfelle, gjør parallell transport langs en hvilken som helst kurve det mulig å definere parallelle felt av vektorer på M ; dette kan bare skje hvis krumningen på ∇ er null.
En lineær isomorfisme bestemmes av dens handling på grunnlag . Parallell transport kan også sees på som et middel til å transportere elementene i koordinatsystemet (tangent) GL ( M ) langs en kurve. Med andre ord gir affineforbindelsen et løft fra en hvilken som helst kurve γ fra M til en kurve fra GL ( M ).
Vurder en sfærisk parameterisering av enhetssfæren . Derivatet tilsvarer vektoren som er enhetlig, og derivatet tilsvarer vektoren som ikke er enhetlig. La oss sette enhetsvektoren kollinær til , og , slik at det utgjør en ortonormal basis for planet som tangerer sfæren på det vurderte punktet. Vi kan vise at:
ogDette betyr at, hvis man beveger seg langs kuleens parallell , og hvor lengdegraden er variabel, roterer den ortonormale basen med vinkelhastighet i forhold til en base som vil bli transportert parallelt langs parallellen. Omvendt vil et Y-felt bli transportert parallelt langs parallellen hvis det roterer med vinkelhastighet i forhold til det ortonormale grunnlaget . På ekvator er rotasjonen null. På stolpene er det maksimalt. Det er dette fenomenet som blir observert i eksperimentet med Foucault-pendelen , hvis svingningsplan transporteres parallelt langs parallellen der den ligger med jordens rotasjon.
En affin-forbindelse kan også bli definert som GL ( n ) primær-forbindelses (en) ω på rammen bunten F M (også betegnet GL ( M )) av en rekke M . Mer presist, ω er et differensierbart kart som går fra tangentbunten T (F M ) i referansebunten til rommet til n × n- matriser (som er Lie algebra gl ( n ) av Lie-gruppen GL ( n ) n × n inverterbare matriser ) som tilfredsstiller følgende to egenskaper:
En slik forbindelse ω definerer umiddelbart et kovariant derivat , ikke bare på tangentbunten, men på vektorpakkene som er assosiert med en hvilken som helst gruppepresentasjon av GL ( n ), som bunter med tensorer og tensortettheter (en) . Motsatt bestemmer en affinforbindelse på tangentbunten en affinforbindelse på rammebunten, for eksempel for å be om at ω forsvinner på tangentvektorene til de registrerte kurver i rammebunten definert av parallell transport.
Referansebunten er også utstyrt med en sveiseform (in) θ : T (F M ) → R n som er horisontal , i den forstand at den forsvinner på de vertikale vektorene (in) slik som punktverdiene til feltene av vektorene X ξ : θ er faktisk definert ved først å projisere en tangentvektor (ved F M , på et punkt forsynt med en referanse f ) på M , deretter ved å ta komponentene i denne tangentvektoren på M i referansen f . Merk at θ også er GL ( n ) -ekvivalent (GL ( n ) som virker på R n ved å multiplisere matrisene).
Paret ( θ , ω ) definerer en isomorfisme av bunter (en) mellom T (F M ) og den trivielle bunten F M × aff ( n ), hvor aff ( n ) er det kartesiske produktet av R n og gl ( n ) (sett på som Lie-gruppealgebraen til affinegruppen, som faktisk er et semi-direkte produkt - se nedenfor).
Affineforbindelser kan defineres innenfor de generelle rammene som Cartan foreslår. Fra et moderne synspunkt er dette nært knyttet til definisjonen av affine forbindelser på bunten med referansepunkter. Faktisk, i en av de mulige formuleringene, er en Cartan-forbindelse en absolutt parallellitet av en hovedbunt som tilfredsstiller egnede egenskaper. Fra dette synspunktet er 1-formen med verdier i aff ( n ) ( θ , ω ): T (F M ) → aff ( n ) på bunten med referanserammer (av en affin manifold) er en Cartan tilkobling. Imidlertid hadde Cartans tilnærming selv en rekke forskjeller fra dette synet:
De nettopp hevede poengene kan forklares lettere i omvendt rekkefølge, med utgangspunkt i motivasjonene fra overflateteorien. I denne teorien, selv om flyene ruller på overflaten er tangens plan i naive forstand, begrepet tangent plass er en infinitesimal begrep , mens flyene, som affine underrom av R 3 , strekker seg til uendelig. Imidlertid har disse affine flyene en naturlig opprinnelse, deres kontaktpunkt med overflaten. Forvirringen forekommer derfor naturlig, siden et affinert rom utstyrt med et opprinnelsespunkt er identifisert med vektorområdet til dets vektorer, og derfor med det tangente rommet på dette punktet. Imidlertid beholder ikke parallelltransporten definert av lageret denne opprinnelsen; det er en affin og ikke-lineær transformasjon (men lineær parallell transport oppnås ved å komponere med en oversettelse).
Mer abstrakt bør en affin manifold derfor defineres som en manifold M med dimensjon n , forsynt på hvert punkt x med et affinert rom A x (også av dimensjon n ), "festet" til dette x med et punkt a x ∈ a x den affine variasjon blir også tilveiebrakt en parallell transport , det vil si en fremgangsmåte for transport av elementene i disse rom affine langs en kurve (glatt) et hvilket som helst C med M . Denne metoden må tilfredsstille flere egenskaper:
Det er ganske vanskelig å nøye uttrykke disse to siste forholdene, og derfor defineres affine-forbindelser ofte på en uendelig liten måte. For denne tilnærmingen trenger du bare å se hvordan koordinatsystemene affinerer til en parallell uendelig minimal transport (dette er opprinnelsen til den mobile referansemetoden (i) Cartan). Et affinekoordinatsystem på et punkt er en liste ( p , e 1 , ..., e n ), der p ∈ A x og e i danner et grunnlag for T p ( A x ). Den affine forbindelsen blir deretter gitt symbolsk av et første ordens differensialsystem
definert av et sett med 1-former ( θ j , ω i j ). Geometrisk transformeres et affinekoordinatsystem som beveger seg langs en kurve γ som går fra γ ( t ) til γ ( t + δt ) omtrent (eller uendelig) med
Videre må affineområdene A x være tangent til M i (uformell forstand) at forskyvningen av a x langs γ kan identifiseres (ved grensen) med tangensvektoren γ ' ( t ) til γ ved x = γ ( t ) (dvs. med uendelig liten forskyvning av x ). Som
a x ( γ ( t + δt )) - a x ( γ ( t )) = θ ( γ ' ( t )) δt ,hvor θ er definert av θ ( X ) = θ 1 ( X ) e 1 + ... + θ n ( X ) e n , er denne identifikasjonen gitt av θ ; denne tilstanden tilsvarer derfor å be om at θ være en lineær isomorfisme ved hvert punkt.
Det tangentielle affineområdet A x identifiseres således med et uendelig minimalt affinalt område av x .
Det moderne synspunktet spesifiserer alle disse intuisjonene ved å bruke hovedbunter (den essensielle ideen er å erstatte et referansemerke, "fast" eller "mobil" med rommet for alle referansemerker og av funksjoner definert i dette rommet). Det er også inspirert av Erlangens program , der en “geometri” defineres som et homogent rom . Et affint rom er en "geometri" fra dette synspunktet, og er utstyrt med en flat Cartan-forbindelse (uten krumning). Dermed kan en generell affin manifold ses på som en deformasjon som bøyer denne flate modellen.
Vi kan se et affinert rom som et vektorrom der opprinnelsen er fjernet. Følgelig kan ikke punktene i rommet legge seg sammen, men vi kan legge til en vektor v til et punkt p , hvor operasjonen p → p + v er oversettelsen av vektor v . Mer rigorøst, en affin plass av dimensjon n er et sett A n utrustet med en fri transitive handling av gruppen av vektorer R n : A n er således en homogen hoved plass (en) for gruppen R n .
Den generelle lineære gruppe GL ( n ) er den gruppe av transformasjoner av R n som bevarer den lineære struktur av R- N i den forstand at T ( AV- + kroppsvekt ) = aT ( v ) + bT ( w ). Ved analogi, den affine gruppe Aff ( n er) defineres som den gruppe av transformasjoner av A n som holder den affine struktur . Dermed må φ ∈ Aff ( n ) holde oversettelsene i den forstand at
for T hvilken som helst lineær applikasjon. Søknaden som sender φ ∈ Aff ( n ) til T ∈ GL ( n ) er en gruppemorfisme . Dens kjerne er en gruppe av oversettelser R n . Den stabilisator for et punkt p på A kan således bli identifisert med GL ( n ): Dette realiserer affine gruppe som en semi-direkte produkt av GL ( n ) og i R n , og det affine rom som den homogene plass Aff ( n ) / GL ( n ).
Avgrens landemerker og tilknytning uten krumningEt affinekoordinatsystem av A består av et punkt p ∈ A og en basis ( e 1 , ..., e n ) av vektorområdet Tp A = R n . Den generelle lineære gruppe GL ( n ) virker fritt på settet F A av affine referansestammene ved å feste p og trans bunnen ( e 1 , ..., e n ) på den vanlige måte, og kartet π sende en affine koordinat system ( p ; e 1 , ..., e n ) på p er kvotientkartet . Således, F A er en GL ( n ) hoved -bundle ovenfor A . Handlingen av GL ( n ) strekker seg naturlig til en fri transitiv handling av affinegruppen Aff ( n ) på F A , og derfor er F A en Aff ( n ) - torsor (en) , og valget av en referanseramme identifiserer F A → A med hovedbunten Aff ( n ) → Aff ( n ) / GL ( n ).
Vi kan definere et sett med n + 1 funksjoner på F A ved å
(som før)Befestigelse av en opprinnelse for A , disse funksjonene har verdier i R n ; det er derfor mulig å ta sine ytre derivater , hvorved det oppnås differensial 1-former med verdier i R n . Funksjonene iU ^ i å tilveiebringe en basis for R n i hvert punkt av F A , må disse 1-formene være i stand til å bli uttrykt som summer av formen
for et bestemt sett ( θ i , ω j k ) 1≤ i , j , k ≤ n av 1-former med reelle verdier på Aff ( n ). Dette system av 1-former i hovedbunten F A → A definerer affine forbindelse på A .
Tar ytre derivatet en andre gang, og ved hjelp av det faktum at d 2 = 0, så vel som den lineære uavhengighet av den ε i , får vi følgende relasjoner:
Dette er Maurer-Cartan-ligningene for Lie-gruppen Aff ( n ) (identifisert med F A ved valg av referanseramme). Dessuten :
Således formene ( ω i j ) å definere en primær forbindelse (in) F A → A .
For å fullføre de første motivasjon, må vi definere også parallell transport i Aff ( n ) hoved -bundle ovenfor A . Dette kan gjøres ved å trekke F A tilbake av kartet φ: R n × A → A definert av oversettelsene. Da er forbindelsen φ * F A → F A → A en hovedaff ( n ) -fiber over A , og formene ( θ i , ω j k ) induserer (i) en hovedaff ( n ) -forbindelse flatt på denne bunt.
Et affinert rom er en variant med en flat Cartan-forbindelse . Mer generelle affine manifolder (eller geometrier) oppnås ved å fjerne flathetstilstanden uttrykt av Maurer-Cartan-ligningene. Det er flere måter å nærme seg definisjonen på; vi vil gi to. Vi vil forstå dem lettere ved å legge merke til at 1-formene ( θ i , ω j k ) til den flate modellen kombineres for å gi en 1-form med verdier i Lie algebra aff ( n ) til affinegruppen Aff ( n ).
I disse definisjonene er M et differensialmanifold av dimensjon n , og A = Aff ( n ) / GL ( n ) er et affinert rom med samme dimensjon.
Definisjon ved hjelp av absolutt parallellitetEller M en rekke, og P et GL ( n ) hoved -bundle ovenfor M . En affin forbindelse er en 1-form η på P med verdier i aff ( n ) som tilfredsstiller følgende egenskaper:
Denne siste tilstanden betyr at η er en absolutt parallellitet på P , dvs. at den identifiserer tangentbunten til P med en triviell bunt (i dette tilfellet med P × aff ( n )). Paret ( P , η ) definerer en struktur av affin geometri på M , som gjør den til en affin manifold .
Den affine Lie algebra aff ( n ) faktorene til et semi-direkte produkt av R n og gl ( n ), og η kan derfor skrives som et par ( θ , ω ), der θ tar verdiene i R n og ω tar dem i gl ( n ). Betingelser (1) og (2) tilsvarer at ω er en hoved GL ( n ) -forbindelse og θ en ekvivariant horisontal 1-form, som konstruerer en homomorfisme av bunter (in) fra T M til den tilhørende bunten P × GL ( n ) R n . Tilstand (3) tilsvarer at denne homomorfismen er en isomorfisme (imidlertid er eksistensen av denne nedbrytningen en konsekvens av den spesielle strukturen til affinegruppen). Siden P er bunten med referanserammer for P × GL ( n ) R n , følger det at θ konstruerer en isomorfisme av bunter mellom P og F M , bunten av rammer av M ; Vi finner således at definisjonen av en affin forbindelse som et GL ( n ) -Tilkobling hoved F M .
1-figurene som vises i den flate modellen er ganske enkelt komponentene i θ og ω .
Definisjon som primær affineforbindelseEn affinforbindelse på M er en hoved Aff ( n ) -bibble Q over M , hvor det er gitt en GL ( n ) -komponent hoved P av Q og en Aff ( n ) -forbindelses hoved α (c 'er å si a 1-formen på Q med verdier i aff ( n )), som tilfredsstiller den følgende Cartan tilstand (generisk): komponenten i R n av restriksjons fra α til P er et tilsvarende horisontal 1-form, og definerer derfor en homomorfi av bunter som går fra T M til P × GL ( n ) R n : Cartans tilstand vil at det skal være en isomorfisme.
Forhold til motivasjonerSiden Aff ( n ) virker på A , er det, assosiert med hovedbunten Q , en bunt A = Q × Aff ( n ) A , som er en bunt over M hvis fiber ved x (av M ) er et affinalt rom A x . Et snitt a av A (som definerer et punkt markert a x av A x for hver x ∈ M ) bestemmer en hoved GL ( n ) -underbunt P av Q (som en bunt stabilisatorer av disse markerte punktene), og omvendt . Hovedforbindelsen α definerer en Ehresmann-forbindelse på denne bunten, og derfor en forestilling om parallell transport. Cartans tilstand garanterer forskyvning, i denne parallelle transporten, av seksjonen a som er så fremtredende.
Krumning og vridning er de viktigste invarianter av affine forbindelser. Siden affine forbindelser kan defineres på mange likeverdige måter, er det også flere definisjoner av disse invarianter.
Fra perspektivet til Cartan-forbindelser, måler krumning hvor godt forbindelsen η ikke tilfredsstiller Maurer-Cartan-ligningen
der det andre begrepet fra venstre er det ytre produktet , ved hjelp av Lie-braketten (en) i aff ( n ) for å trekke sammen verdiene. Ved å skrive η som paret ( θ , ω ), og bruke strukturen til Lie algebra aff ( n ), kan vi omskrive venstre side
der de ytre produktene beregnes ved å multiplisere matriser. Det første uttrykket kalles vridningen av forbindelsen, og det andre dets krumning .
Disse uttrykkene er differensielle 2-former over det totale rommet til en bunt med referanserammer, men de er horisontale og ekvivalente, og definerer derfor tensorobjekter. Disse kan defineres direkte fra ∇ , det kovariante derivatet på T M , som følger:
Hvis torsjonen er null, sies forbindelsen å være torsjonsfri eller symmetrisk .
Når krumningen og torsjonen er null, definerer forbindelsen en pre-Lie algebra- struktur (en) på rommet til de globale delene av tangentbunten.
Hvis ( M , g ) er en Riemann-manifold , eksisterer det en unik affin forbindelse ∇ på M slik at:
Denne forbindelsen kalles Levi-Civita-forbindelsen .
Den andre betingelsen betyr at denne forbindelsen er en metrisk forbindelse (fr) , det vil si at den Riemanniske metriske g er parallell: ∇ g = 0 . I lokale koordinater kalles komponentene i tilkoblingsskjemaet Christoffelsymboler ; siden Levi-Civita-forbindelsen er unik, kan vi formulere disse komponentene i form av de som g .
Siden rette linjer er et affint geometrisk konsept, forventer vi at affine forbindelser vil tillate oss å definere en generalisert forestilling om rette (parametriske) linjer, kalt affine geodesics, på et hvilket som helst affin manifold . Fra et lineært synspunkt tillater en affineforbindelse på M å karakterisere geodesikken på følgende måte: en jevn kurve γ : I → M er en affin geodesikk hvis den blir transportert parallelt langs , dvs.
hvor τ t s : T γ s M → T γ t M er det parallelle transportkartet som definerer forbindelsen.
Uttrykt ved hjelp av den uendelige minimale forbindelsen ∇, antyder derivatet av denne ligningen
for alle t ∈ jeg .Omvendt er enhver løsning av denne differensiallikningen en kurve hvis tangensvektor forblir parallell med seg selv langs kurven. For alle x ∈ M og alle X ∈ T x M eksisterer det en unik affin geodesisk γ : I → M slik at γ (0) = x og
,hvor jeg er det maksimale åpne intervallet på R , som inneholder 0, som geodesikken er definert over. Dette følger av Cauchy-Lipschitz-setningen , og gjør det mulig å definere et eksponentielt kart assosiert med affinforbindelsen.
Spesielt når M er en ( pseudo -) Riemannisk manifold og ∇ er Levi-Civita-forbindelsen , er affin geodesikk den vanlige geodesikken i Riemannian geometri, det vil si kurvene som lokalt minimerer avstanden.
Noen ganger sies det at geodesikken som er definert her, er finparameterert , siden en gitt geodetikk av M bestemmer en enkelt parameterisert kurve γ opp til en affin endring av parameteren nær γ ( t ) → γ ( ved + b ), med a og b konstant . Tangensvektoren til en affin geodesikk forblir equipollent (og derfor parallell) til seg selv hele veien. Hvis vi bare opprettholder betingelsen for parallellisme, uten å kreve ekvipollens, er det tilstrekkelig at ligningen blir bekreftet
for noen funksjon k definert på γ. Slike ikke-parametrerte geodesikk studeres ofte ut fra synspunktet til prosjektive forbindelser (in) .
En affin forbindelse gjør det mulig å definere et begrep om utvikling (in) av kurvene (ikke forveksles, verken med evolut eller involvert ). Intuitivt tilsvarer utviklingen visjonen til tangentplanet ved et punkt x t av en kurve av M som ruller (uten å gli) på kurven. I denne bevegelsen, det første kontaktpunkt x 0 beskriver en kurve C t av tangentplanet, er utviklingen av x t .
For å formalisere denne ideen, la τ t 0 : T x t M → T x 0 M den (lineære) parallelle transportapplikasjonen assosiert med affineforbindelsen. Deretter er utviklingen C t kurven til T x 0 M med opprinnelse 0 og parallell med tangenten til kurven i x t for alle t :
Spesielt x t er et geodetisk hvis og bare hvis dens utvikling er en høyre (sett filtrering) av T x 0 M .
Hvis M er en overflate av R 3 , kan vi lett se at M har en naturlig affine tilkobling. Med hensyn på lineære sammenhenger, blir den kovariante derivat av et vektorfelt definert ved å skille dette felt, sett på som en anvendelse av M til R- 3 , og som rager ut (ortogonalt) resultatet på tangentplanene til M . Det er lett å se at denne tilknytningen er vrifri. Dessuten er det en metrisk forbindelse med hensyn til Riemannsk metrikk indusert på M ved skalarproduktet av R- 3 ; så dette er Levi-Civita-forbindelsen til denne beregningen.
Betegn det vanlige skalære produktet på R 3 , og enhetssfæren. Tangentplanet ved et punkt x er naturligvis identifisert med underrom av R 3 er dannet av vektorer ortogonal til x . Det følger at et vektorfelt på kan sees på som et program
som sjekker
Betegn med Y differensialet på dette kartet. Vi har :
Lemma . Formelen
definerer en vrifri affineforbindelse på .
Demonstrasjon . En direkte beregning viser at ∇ tilfredsstiller Leibniz-identiteten og er lineær i forhold til den første variabelen. Det er derfor tilstrekkelig å vise at den foregående applikasjonen definerer et felt med tangentvektorer. Med andre ord, vi må vise det for alle x av
Vurder søknaden
er konstant, og derfor er differensialen identisk null. Spesielt
Ligning (1) følger umiddelbart.