Sylows teoremer

I teorien om endelige grupper , de Sylow teoremer danner en delvis resiproke av Lagrange teorem , i henhold til hvilken, hvis H er undergruppe av en endelig gruppe G , så den rekkefølgen av H skiller størrelsesorden G . Disse setningene garanterer, for visse delere av rekkefølgen av G , at det eksisterer undergrupper av orden lik disse delerne, og gir informasjon om antallet av disse undergruppene.

Disse setningene er oppkalt etter den norske matematikeren Ludwig Sylow , som demonstrerte dem i 1872. Deretter ble de delvis generalisert til uendelige grupper.

Definisjon

La p være et primtall og G en endelig gruppe; da definerer vi en Sylow p- undergruppe av G som et maksimalt element i settet med p- undergrupper av G , ordnet etter inkludering. Med andre ord er det en p- undergruppe av G som ikke er inkludert i noen annen p- undergruppe av G. Enhver p- undergruppe av G er inkludert i en maksimal p- undergruppe, dette som garanterer eksistensen av Sylow p- undergrupper . Sammenstillingen (ikke tømmes, så) for alle p -under-Sylow grupper for en første heltall p gitt noen ganger bemerkes Syl p G . De er også kalt mer enkelt: p -Sylow av G .

Samlinger av maksimale undergrupper, i en eller annen forstand, er ikke uvanlige i gruppeteorien. Resultatet er overraskende her at i tilfelle av Syl p G , er alle medlemmer faktisk konjugert sammen (og derfor isomorf), og denne egenskap kan utnyttes til å bestemme andre egenskaper G .

Sylows teoremer

Følgende forslag ble presentert og demonstrert av den norske matematikeren Ludwig Sylow i 1872.

Sylows teoremer for begrensede grupper - La G være en gruppe av orden p n s , hvor p er et primtall, n er et naturlig heltall og p ikke deler s , med andre ord n er den p-adiske verdsettelsen av rekkefølgen av G . Så:

Teorem 1 : Det eksisterer en p -Sylow av G av orden p n .
Theorem 2 : All p -Sylow av G er konjugert til hverandre, det vil si, hvis H og K er to p -Sylow av G , så er det et element g i G kontrollere GHG- -1 = K .
Theorem 3 : La n p antall p -Sylow av G .
- n p deler s .
- n p ≡ 1 mod p

Spesielt de to første setningene innebærer det

den p -Sylow av G er nøyaktig sine undergrupper av orden p n ,

derfor er en hvilken som helst p- undergruppe av G inkludert i en undergruppe av ordren p n .

Dessuten innebærer den andre teoremet at alt p -Sylow av G er isomorfe , og normalisering av hver er å indeks n s i G .

Eksempler, applikasjoner

La G være en gruppe av rekkefølge 15 = 3 · 5. Vi må ha n 3 delinger 5, og n 3 ≡ 1 mod 3. Den eneste verdien som tilfredsstiller disse begrensningene er 1; dermed er det bare en undergruppe av ordre 3, og den må være normal (siden den ikke har noen forskjellige konjugater). På lignende måte, n 5 skiller 3, og n 5 ≡ 1 mod 5; den har derfor også bare en normal undergruppe av rekkefølge 5. Siden 3 og 5 er koprim, er skjæringspunktet mellom disse to undergruppene trivielt, og derfor er G nødvendigvis en syklisk gruppe . Det er således en enkelt gruppe av orden 15 (opp til isomorfi): gruppen Z / 15 Z .

La oss gi et mer komplekst eksempel. Vi kan vise at det ikke er noen enkel gruppe på ordre 350. Hvis | G | = 350 = 2 · 5 2 · 7, så må n 5 dele 14 (= 2 · 7), og n 5 ≡ 1 mod 5. Så n 5 = 1 (siden verken 6 eller 11 dele 14), og så må G har en normal undergruppe av ordre 5 2 , og kan derfor ikke være enkel.

Artikkelen enkel gruppe av ordre 168 bruker en Sylow-teorem for å demonstrere enkelheten til en gruppe. Den alternative gruppeartikkelen bruker disse setningene for å vise at den minste, ikke-abelske, enkle gruppen er av orden 60.

Demonstrasjoner

Den bevis for Sylow teoremer er basert på egenskapene til virkning ved konjugering av gruppe G på seg selv og på alle sine deler , så vel som en begrensning av denne handlingen til en undergruppe H :

den ligningen til klassene av G , | G | = | Z ( G ) | + ∑ i [ G : Z i ], hvor
- Z ( G ) er sentrum av G ,
- hver Z i er en streng undergruppe av G , med indeks [ G : Z i ]> 1;
| Cl ( S ) | = [ G : N ( S )], hvor
- S er en hvilken som helst delmengde av G ,
- Cl ( S ) er dens konjugasjonsklasse , hvis elementer er delene av G av formen gSg -1 , for hver g i G ,
- undergruppen N ( S ) er normalisereren av S i G ;
på samme måte | Cl H ( S ) | = [ H : N H ( S )], hvor
- Cl H ( S ) er klassen for konjugering av S av elementene i H , dvs. settet med hSh- 1 , for hver h i H ,
- N H ( S ) = H N ( S ).

Bevis for teorem 1

Vi fortsetter ved induksjon på rekkefølgen av G . Hvis denne rekkefølgen er verdt 1 (eller mer generelt hvis n = 0, dvs. hvis p ikke deler rekkefølgen på G ), er den trivielle gruppen faktisk en undergruppe av G av orden p n = 1. La oss nå anta at G er ikke triviell, og teorem 1 blir kontrollert for en hvilken som helst gruppe av strengt lavere orden som G .

Hvis G har en streng undergruppe av indeksprime til p , har denne undergruppen, ifølge induksjonshypotesen, en undergruppe av orden p n ; Således er det den samme for G .
Hvis tvert imot alle de strenge undergruppene til G har en indeks som kan deles med p , i klasseligningen, | G | og alle [ G : Z i ] er delbare med p , så | Z ( G ) | også. Siden Z ( G ) også er abelsk , har den en undergruppe H av orden p . Denne undergruppen H er normal i G (fordi den er inkludert i sentrum av G ), og vi kan vurdere kvotientgruppen G / H , hvis rekkefølge er p n -1 s . I følge induksjonshypotesen har G / H da en undergruppe L av orden p n -1 . La K være det gjensidige bildet av L ved den kanoniske projeksjonen av G på G / H : det er en undergruppe av G som inneholder H , og K / H er isomorf til L (i henhold til den første isomorfismen ). Siden H er av orden p , så er K av orden p n .

Bevis for teorem 2 og 3

La K en p -Sylow av G , n K antallet av konjugater, og H en p -Sylow hvilken som helst av G . Selv om konjugering av klasse Cl ( K ), bane av K for virkningen av gruppen G er naturlig delt opp i under baner for aksjon (bunden) gruppe H . Således n K = Σ i | Cl H ( L- i ) |, hvor vi har valgt et element L i i hvert sub-bane.

Nå er kardinalen [ H : N H ( L )] av en hvilken som helst underbane av et element L av Cl ( K ):

er en kraft av p , som enhver endelig indeks for en undergruppe i en p- gruppe ;
er lik 1 (og hvis) bare hvis H = L . Faktisk, hvis 1 = [ H : N H ( L )] = [ H : H ∩N ( L )], er H inkludert i N ( L ), slik at HL er en gruppe der L er normal. Videre, ifølge den andre isomorfismen , er kvotientgruppen av HL av L isomorf for gruppen H / ( H ∩ L ), så den er en p- gruppe. Siden L også er en p- gruppe, er HL det også . Ved maximality av H og L blir utledet fra: H = HL = L .

Ved å anvende ovennevnte på det spesielle tilfellet H = K , trekker vi ut at n K er en sum av krefter av p hvor nøyaktig en er lik 1, derfor at n K er kongruent til 1 modulo p .
Spesielt er ikke n K delelig med s . Så deretter å påføre den ovennevnte til en p -Sylow H noen, trukket som det er minst én L i Cl ( K ) slik at M = L , det vil si: at H er et konjugat av K . Derfor er antallet n p av p -Sylow av G er nøyaktig n K .
Det andre faktum om n p følger nesten umiddelbart: siden n p = n K er kongruent til 1 modulo p , er den primær med p n . Dessuten deler n K = [ G : N ( K )] | G | = p n s . Vi utleder at den deler s .

Merk at argument 1 og 2 ovenfor (og den tidligere analysen som fant dem) forblir gyldige når | Cl ( K ) | = [ G : N ( K )] er endelig; dermed kan vi si på en analog måte:

Sylows setning for uendelige grupper - Hvis en av p -Sylows of G bare har et begrenset antall konjugater, så er alle p -Sylows of G konjugert, og antallet deres er kongruent til 1 modulo p .

I denne teoremet er antagelsen avgjørende: det er grupper (nødvendigvis uendelige) som har p -Sylow ukonjugert og til og med ikke-isomorf, for eksempel det frie produktet av to p- grupper som ikke er isomorfe og ikke trivielle , eller den "tellbare symmetriske gruppen" det vil si undergruppen til den symmetriske gruppen som består av permutasjoner med begrenset støtte. $\ scriptstyle {\ mathfrak {S}} (\ mathbb {N})$

Andre demonstrasjoner

Et annet bevis på første setning (eksistensen av p -Sylow, i den forstand: p- undergrupper av indeks prime til p ) består i først å verifisere denne teoremet for den lineære gruppen GL n ( Z / p Z ), som er i orden ( p n –1) ( p n –p )… ( p n –p n –1 ) , og bemerker at undergruppen består av de øvre trekantede matrisene med 1s på hoveddiagonalen er d ’orden p × p 2 ×… × p n –1 er derfor en p -Sylow. Nøkkeltrinnet er da et lemma av “stabilitet av den første teoremet av undergruppene”, som konstruksjonene, for hvilken som helst undergruppe H av en endelig gruppe G , en p -Sylow for H fra et p -Sylow for G . For å konkludere er det tilstrekkelig å legge merke til at takket være Cayleys teorem , er en hvilken som helst gruppe av kardinal n identifisert med en undergruppe (som består av permutasjonsmatriser ) av gruppen GL n ( Z / p Z ).
Vi kan også få G til å handle ved høyre multiplikasjon på settet med deler av G av kardinal p n . Settet av disse delene er av kardinal som ikke er delelig med p , så det eksisterer en del hvis kardinal i bane ikke er delelig med p ; så sjekker vi at stabilisatoren er en p -Sylow. ${\ displaystyle {\ binom {p ^ {n} s} {p ^ {n}}}}$

Merknader og referanser

(fr) Denne artikkelen er helt eller delvis hentet fra den engelske Wikipedia- artikkelen med tittelen " Sylow-teoremer " ( se listen over forfattere ) .

M. L. Sylow, “ Teorem on substitution groups ”, Math. Ann. , vol. 5,1872, s. 584-594 ( les online )
(de) AP Dietzmann , A. Kurosch og AI Uzkow , “ Sylowsche Untergruppen von unendlichen Gruppen ” , Rec. Matte. [Mast. Sbornik] NS , vol. 3 (45), n o 1,1938, s. 179–185 ( les online )
Dette hotellet ligger i nærheten av finiteness av G . Når det gjelder en uendelig gruppe G (hvis p -Sylow er definert på nøyaktig samme måte), er det sikret av Zorns lemma , jf. JJ Rotman, En introduksjon til gruppeteorien , Springer, 1995, ( ISBN 978-0 -387-94285-8 ) , s. 78 .
(in) H. og B. Kurzweil Stellmacher, Theory of Finite Groups, An Introduction , Springer, 2004 ( ISBN 0-387-40510-0 ) , s. 63 og følgende
Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detalj av utgaver ]s. 19-20
I uttalelsen fra Theorem 1, presisjonen ' p -Sylow "er selvfølgelig overflødig: hver undergruppe av G av orden p n er åpenbart en p -Sylow av G .
Det er noen ganger denne karakteriseringen som blir tatt som en definisjon av p -Sylow, som i: Bourbaki, Algebra, Del 1, Springer 2006 ( ISBN 9783540338499 ) s. AI74 § 6 def 10 ; J.-P. Serre, endelige grupper (Kurs på ENSJF 1978/79); Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detalj av utgaver ]s. 18; Serge Lang , Algebra [ detalj av utgaver ]kap. I § 6; Aviva Szpirglas , Algebra L3: Komplett kurs med 400 korrigerte tester og øvelser [ detalj av utgaven ]def 6.115; M. Reversat, B. Bigonnet, Algebre pour la license, Cours et exercises corrigés , Dunod (2000) s. 50, eller Wikiversity-kurset om Sylows teoremer .
Elementene i denne bevis er hovedsakelig de samme som i Serge Lang , Algèbre [ detalj av utgavene ], men presentert i en annen rekkefølge, slik at den delen av beviset forblir gyldig selv når gruppen G er uendelig.
Denne notasjonen er introdusert på s. 59 av H. Kurzweil, B. Stellmacher, Theory of Finite Groups, An Introduction , Springer, 2004.
Se artikkelen Finite abelian group , eller (uten å påberope abelianity) artikkelen Cauchys teorem .
Demonstrasjonen som presenteres her er i det vesentlige den samme som (i) WR Scott, Group Theory , Dover,1987( 1 st ed. 1964) ( lese linjen ), Teorem 6.1.10, s. 133 .
Dette beviset er detaljert i avsnittet "Sylows første setning" på Wikiversity- siden lenket nedenfor . Den presenteres av Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detalj av utgaver ](s. 18 i 1996-utgaven) som hentet fra Jean-Pierre Serres kurs på ENSJF i 1978/79: Groups finis .

Se også