Gratis abelsk gruppe

I matematikk , en fri abelsk gruppe er en abelsk gruppe som har en basis , dvs. en del B , slik at et hvilket som helst element av gruppen er entydig skrives som en lineær kombinasjon med heltall (relative) koeffisienter av elementene i B .

I likhet med vektorrom klassifiseres frie abelske grupper (opp til isomorfisme ) etter rang, definert som kardinalen til en base, og enhver undergruppe av en fri abelsk gruppe er selv fri abelsk. Enhver abelsk gruppe er derfor isomorf til kvotienten til en fri abelsk gruppe av en fri abelsk undergruppe.

Eksempel og moteksempel

Gruppen G = ℤ⊕ℤ ≃ ℤ × ℤ, direkte sum av to kopier av den uendelige sykliske gruppen ℤ , er fri abelian av rang 2, av base B = { e 1 , e 2 } med e 1 = (1, 0 ) og e 2 = (0, 1), siden ethvert element ( n , m ) av G er unikt skrevet som ( n , m ) = ne 1 + me 2 .
Ingen endelig abelsk gruppe som ikke er redusert til nøytral, er fri abelsk, i henhold til eiendom 5 nedenfor (for andre moteksempler, jf. Egenskaper 5 og 6).

Terminologi

I motsetning til vektorrom, har ikke alle abeliske grupper en base, og derfor reserverer vi for de som har en ekstra kvalifisering av "gratis".

Denne kvalifiseringen av "gratis" kan føre til forvirring. Uttrykket "fri abelsk gruppe" skal tas globalt, og betyr slett ikke "gruppe som både er en abelsk gruppe og en fri gruppe ". De eneste frie gruppene som er abeliske er (opp til isomorfisme) den trivielle gruppen som allerede er nevnt, og den uendelige sykliske gruppen ℤ.

Eiendommer

For ethvert sett B eksisterer det en fri abelsk gruppe med base B , unik opp til isomorfisme: gruppen av kart i B i ℤ med begrenset støtte , dvs. null på en undergruppe cofinite av B . Det er isomorf med en direkte sum av så mange kopier av ℤ at det er elementer i B .
En fri abelsk gruppe G med base B tilfredsstiller følgende universelle egenskaper , som karakteriserer den (opp til isomorfisme) blant abeliske grupper: for enhver kartlegging f fra B til en abelsk gruppe A , eksisterer det en unik morfisme av grupper fra G til A som forlenger f .
For abelsk gruppe A , er det en fri abelsk gruppe G og en homomorfi surjektiv av G i A . Dette er en konsekvens av den forrige universelle eiendommen.
Begrepet fri abelsk gruppe er et spesielt tilfelle av fri modul , siden en abelsk gruppe ikke er noe annet enn en modul på ringen ℤ av heltall.
Enhver fri abelisk gruppe er torsjonsfri , og enhver torsjonsfri endelig type abelgruppe er en fri abelsk gruppe.
Ingen delelig abelsk gruppe er gratis abelsk, bortsett fra den trivielle gruppen . For eksempel er tilsetningsgruppen ℚ av rasjonelle ikke en fri abelsk gruppe (selv om den er vridningsfri).
Enhver undergruppe av en gratis abelsk gruppe er fri abelsk (se nedenfor ).
Enhver abelsk gruppe er isomorf til en kvotient av to frie abeliske grupper (dette er en konsekvens av egenskapene 3 og 7). Vi kan formalisere dette ved å si at for enhver abelsk gruppe A eksisterer det en nøyaktig sekvens 0 → G → F → A → 0, med F og G frie abelianere. En slik sekvens er kalt en oppløsning (i) fri for A av lengde 1, og A er den cokernel av morphism injektiv av G i F .
Enhver projiserende abelsk gruppe (som en module-modul) er gratis abelsk (dette er en konsekvens av eiendom 7).

Til tross for sin enkelhet kan egenskapen til å være abelianfri eller ikke være vanskelig å bestemme for en gitt konkret gruppe. For eksempel, Reinhold Baer (i) viste i 1937 at Baer-Specker gruppe (i) ℤ ℕ ( direkte produkt av en uendelig tellbare kopier av ℤ) gjør ikke abelske fri, og Ernst Specker viste i 1950 at alle dens tellbar undergrupper er gratis abeliere.

Rang

Enhver fri abelisk gruppe av endelig type er isomorf til ℤ n for noe naturlig tall n , som vi kaller dets rang. Vanligvis en gratis abelsk gruppe F har mange baser, men alle har samme kardinal , og dette er hva Cardinal kalt rang av F . Denne forestillingen om rangering av en fri abelsk gruppe kan utvides til å omfatte både rang av en abelsk gruppe (i) (eller mer generelt, en modul) og rangering av en gruppe . Koblingen mellom de forskjellige basene kan være interessant, for eksempel i studiet av nettverk .

Formell sum

Den funktor fritt objekt at ethvert sett B kombinerer den frie abelsk gruppe av basen B , bemerket ℤ [ B ], er den stedfortredende forlatt den glemsom funktor fra kategorien grupper i Abelsk settene.

En formell sum av elementer av B er et element av ℤ [ B ], dvs. et element av formen ${\ displaystyle \ sum _ {b \ in C} n_ {b} .b,}$ der C er en endelig delmengde av B , med konvensjonen at hvis C er tom , er summen null (som gjør denne beskrivelsen kompatibel med det faktum at den abeliske gruppen fri på det tomme settet blir redusert til nøytral).

Undergrupper

Theorem - hvilken som helst undergruppe av en fri abelsk gruppe F er abelske fri og underordnet eller lik F .

Dette teorem er det spesielle tilfellet A = ℤ av lignende teorem på frie moduler på en nøkkel ring A . En delvis analog , for gratis grupper , er Nielsen-Schreier-teoremet .

Merknader og referanser

( fr ) Denne artikkelen er delvis eller helt hentet fra Wikipedia-artikkelen på engelsk med tittelen " Free abelian group " ( se listen over forfattere ) .

(i) Paul Cohn , Algebra , t. 1, Wiley,1974, 321 s. ( ISBN 978-0-471-16430-2 ) , s. 281
Se Serge Lang , Algèbre [ detalj av utgaver ], vedlegg 2, §2 (ved hjelp av Zorns lemma ) for en gratis modul av hvilken som helst rang. Det spesielle tilfellet med en fri modul av endelig rangering på en euklidisk ring er behandlet i artikkelen Theorem of invariant factors .