De kvantemekanikken er den gren av teoretisk fysikk som etterfulgte den quantum teori og bølgemekanikken for å studere og beskrive den grunnleggende fenomener ved arbeid i fysiske systemer , særlig i målestokk atom og subatomære .
Den ble utviklet på 1920-tallet av et dusin europeiske fysikere, for å løse problemer som klassisk fysikk ikke klarte å forklare, for eksempel svart kroppsstråling , den fotoelektriske effekten eller eksistensen av spektrale linjer . Det viste seg å være fruktbart i resultater og i forskjellige anvendelser: det gjorde det mulig spesielt å belyse mysteriet med atomets struktur , og mer generelt viste det seg å være det generelle rammeverket for å beskrive oppførselen til elementære partikler , opp til poenget med å utgjøre grunnlaget for moderne fysikk.
Kvantemekanikk innebærer dype konseptuelle vanskeligheter. Hvis dens matematiske formalisme er uten sidestykke i effektivitet, er dens tolkning ikke enstemmig i det vitenskapelige samfunnet. Hans begreper inkluderer partikkelbølgedualiteten , kvanteoverstillingen , sammenviklingen eller ikke-lokaliteten .
Begrepet kvantefysikk refererer til den større teorien som bygger på kvantemekanikk for å beskrive et større sett med fenomener, inkludert de grunnleggende interaksjonene i standardmodellen .
En kvantemekaniker er spesialist i kvantemekanikk og en kvantkjemiker spesialist i kvantekjemi .
Globalt skiller kvantemekanikken seg fra klassisk fysikk med to aspekter: forskjellige regler om additivitet av sannsynligheter , og eksistensen av fysiske størrelser som bare kan manifestere seg ved multipler av faste størrelser, kalt quanta, som gir navn til teori.
I den klassiske oppfatningen av sannsynlighetslovene, når en hendelse kan forekomme på to forskjellige måter som er uforenlige med hverandre, legger sannsynlighetene opp. Dette er ikke tilfelle i kvantemekanikk, hvor sannsynligheten for en hendelse er knyttet til en amplitude av sannsynlighet som sannsynligvis vil forstyrre , inkludert destruktivt.
Denne egenskapen er illustrert av opplevelsen av Youngs spalter , spesielt vurdert av Richard Feynman som den mest symbolske for kvanteoppførselen til materie. I sitt kvantemekanikk-kurs viet Feynman et langt kapittel til sin detaljerte analyse. Dette eksperimentet illustrerer også begrepet bølge-partikkel dualitet , som er grunnlaget for standard tolkning av teorien.
Det anses for tiden at i makroskopiske skalaer blir den tilsynelatende ikke-observasjonen av denne sannsynlige oppførselen forklart med et fenomen som kalles dekoherens . Imidlertid finnes andre forklaringer, men ingen er enstemmige: de stammer i hovedsak fra forskjeller i tolkningen av kvantemekanikken .
Kvantemekanikk henter sitt navn fra eksistensen av størrelser som bare kan manifestere seg i flere faste mengder, ofte knyttet til konstanten oppdaget av Max Planck . Disse mengdene er for eksempel partiklenes energi eller vinkelmoment .
Den mest åpenbare illustrasjonen og den rikeste konsekvensen av dette fenomenet er sannsynligvis å finne i atomens struktur og mer presist i organiseringen av elektronene rundt kjernen. Faktisk distribueres elektronene ved å okkupere stedene som er ledige etter mulige verdier av kvantetallene knyttet til deres energi og deres vinkelmoment. Denne organisasjonen gjør det mulig å forklare den kjemiske og spektroskopiske oppførselen til naturlige elementer .
Eksistensen av kvanta er ikke en grunnleggende egenskap for kvantemekanikken, fordi den kan demonstreres fra andre hensyn, særlig knyttet til regelen om additivitet av sannsynligheter nevnt ovenfor. Imidlertid er det absolutt et av de mest karakteristiske aspektene ved kvantemekanikken, fordi det er det som manifesterer seg lettest i ligninger, og det er historisk av dette aspektet at kvantemekanikken ble oppdaget.
Det er utvilsomt løsningen på problemet med svart kroppsstråling som markerte begynnelsen på kvanteteorien . På begynnelsen av XX th århundre, Max Planck løser faktisk problemet ved å ta den forutsetning at energien i atomene kan handles i multipler av et bestemt beløp, siden kalt Plancks konstant og kjent deretter som en av de fire grunnleggende konstanter .
Denne ideen om energimengder som bare kan utveksles diskret, vil inspirere mange fysikere, som Niels Bohr , som spesielt vil bruke den til å utvikle en modell av atomets struktur. Mer generelt var dette starten på det som ble kalt kvanteteori .
Kort tid etter Plancks oppdagelse antydet Albert Einstein , spesielt etter hans analyse av den fotoelektriske effekten , at mengden h ν er energien til en elektromagnetisk partikkel som senere vil bli kalt et foton . Denne gjeninnføringen av en korpuskulær oppfatning av lys vil oppmuntre Louis de Broglie til å foreslå et forhold som Planck, men for bevegelsesmengden:
hvor er en bølgevektor . er den såkalte reduserte Planck-konstanten .
Ved å gjøre det er han initiativtaker til partikkelbølgedualiteten som vil oppmuntre visse fysikere til å søke en bølgebeskrivelse av materie. Blant disse lykkes og oppnår Erwin Schrödinger en differensialligning, som nå bærer navnet sitt, som gjør det mulig å presist beskrive kvanteutviklingen til en partikkel. Denne ligningen beviste raskt sin relevans i beskrivelsen av modellen for hydrogenatomet .
Samtidig hadde Werner Heisenberg utviklet en radikalt annen tilnærming, som baserte seg på matriksberegninger direkte inspirert av klassisk analytisk mekanikk .
Disse to tilnærmingene, samt forvirringen angående begrepet partikkelbølge-dualitet, ga nye kvantemekanikker et behov for avklaring. Denne avklaringen kom takket være arbeidet til en britisk fysiker, Paul Adrien Dirac .
I en bok utgitt i 1930, med tittelen Principles of Quantum Mechanics , viser Dirac at de to tilnærmingene, Schrödinger og Heisenberg, faktisk bare er to representasjoner av samme lineære algebra . I dette grunnleggende arbeidet trekker Dirac ut de riktige kvantelovene, og ignorerer lovene som allerede er pålagt av klassisk fysikk. Dirac gir deretter en aksiomatisk fremstilling av kvantemekanikk, sannsynligvis inspirert av datidens matematiske utvikling, spesielt med hensyn til prosjektiv geometri .
Diracs arbeid ble forut for noen år tidligere av John Von Neumann , men Von Neumanns arbeid var mye mer matematisk streng, slik at det primært appellerte til matematikere. Fysikere har foretrukket Diracs fremfor ham, og det er derfor egentlig Diracs arbeid som har etterlatt en ettertid. I forordet til en nyutgave av boken nevner Von Neumann Diracs arbeid og beskriver det som "en representasjon av kvantemekanikk som knapt kan overgås når det gjelder korthet og eleganse" , men legger til det samme i det følgende avsnittet at hans metode "tilfredsstiller ikke på noen måte kravene til matematisk strenghet" .
Paul Dirac identifiserer de vesentlige kvanteegenskapene til fysiske fenomener og uttrykker dem gjennom noen postulater og konsepter som er grunnlaget for kvantemekanikken. De presenteres her på en mindre formell måte, mer befordrende for en generell forståelse. Den detaljerte artikkelen presenterer formuleringen deres på en strengere, men også mer abstrakt måte.
I det vesentlige er en kvantetilstand det som kvantifiserer det vi kan vite om et kvantesystem. Det gjør det mulig å beregne sannsynlighetene og de målte gjennomsnittsverdiene til observerbare (posisjon, momentum, etc.). Kvantetilstander beskrives matematisk ved tilstand vektor i en Hilbert plass , representert av en dedikert notasjonen av Dirac, kalt BH-Ket notasjon . En kvantetilstand skrives deretter i formen . Utviklingen over tid av denne tilstandsvektoren er beskrevet matematisk av bølgefunksjonen , styrt av Schrödinger-ligningen .
Disse to representasjonene gjelder rene tilstander , det vil si tilstandene til idealiserte og isolerte enkle kvantesystemer, der hver komponent kan kvantiseres og observeres. For blandede tilstander , som representerer kvantetilstander i kompleks interaksjon med et miljø eller en måleenhet, der komponentene er for mange eller utilgjengelige for observasjon, er kvantetilstanden heller representert av en tetthetsmatrise .
Når det gjelder bra-ket-notasjonen, uttrykker vi kvantetilstanden som en funksjon av egenstatene, det vil si tilstandene vi er sikre på at hvis vi utførte en måling av en observerbar, ville vi utvilsomt oppnå en gitt verdi . Generelt brukes det samme symbolet for disse tilstandene som det som ble brukt til å identifisere denne verdien. For eksempel når vi er sikre på at hvis vi utførte denne målingen, ville resultatet være en verdi , så noterer vi staten . Det eksisterer generelt et visst antall (til og med en uendelig) egenstater for en gitt observerbar. For eksempel, hvis vi er interessert i spinn av en partikkel med spinn 1/2, får vi to egenstater med motsatt retning: og . For den observer stilling, blir et uendelig antall oppnådde egentilstandene som tilsvarer hver av mulige posisjoner ... .
Disse egenstatene er ortogonale vektorer av Hilbert-vektorrommet, og danner en base derav , knyttet til en gitt observerbar . Enhver kvantetilstand uttrykkes deretter som en lineær kombinasjon av disse egenstatene, for eksempel en generalisert tilstand av spinn 1/2 :, a og b er komplekse tall .
Eventuelle to forskjellige kvantetilstander kan ikke nødvendigvis skilles fra , fordi det er en sannsynlighet for at målingen av to forskjellige tilstander gir den samme målte verdien. To kvantetilstander sies å kunne skilles når det er minst en måleprosess der vi er helt sikre på at de to tilstandene gir forskjellige resultater.
Sannsynligvis det viktigste postulatet i kvantemekanikken er prinsippet om superposisjon . I følge dette prinsippet, hvis et fysisk system kan være i en tilstand , og hvis det også kan være i en tilstand , kan det også være i en lineær sammensatt tilstand:
hvor og er to komplekse tall .
Med andre ord er settet med mulige tilstander til et fysisk system et vektorrom (eller mer presist et Hilbert-rom , som nevnt ovenfor), hvis dimensjon kan være vilkårlig.
Det viktige poenget er at en overliggende stat ikke er en tilstand som oversetter en uvitenhet overfor den "virkelige" tilstanden til systemet, men faktisk en ubestemmelighet som er iboende for systemet, som verken er i staten. , Eller i staten. . Dette poenget reiste mange spørsmål i det vitenskapelige samfunnet. Spesielt er superposisjonsprinsippet opprinnelsen til det som kalles kvantemålingsproblemet , som Schrödinger populariserte ved å bruke det på en katt som ifølge Schrödingers paradoks verken er død eller levende.
Prinsippet om superposisjon ble også analysert og kritisert av Einstein, som sammen med Boris Podolsky og Nathan Rosen forestilte seg et eksperiment, kjent som EPR-eksperimentet , for å gjøre det feil. Et lignende eksperiment ble gjennomført i slutten av XX th århundre av Alain Aspect , som opprettholdt prinsippet om superposisjon.
Bors regel, oppkalt etter fysikeren Max Born , er en sannsynlig tolkning av de lineære koeffisientene til superposisjonsprinsippet. Det blir også ofte kalt en sannsynlig tolkning.
Denne regelen kan illustreres ved å vurdere for eksempel Schrödingers katt , nevnt ovenfor, og hvis kvantetilstand kan skrives som følger:
Et eksperiment som vil prøve å avgjøre om denne katten er død eller i live, vil ikke gi noe resultat med sikkerhet (ellers ville katten være enten i staten eller i staten ). På en forenklet måte kan det sies at Born's regel kvantifiserer denne usikkerheten ved å si at sannsynligheten for å finne den døde katten er lik kvadratet til modulus av , delt på summen av kvadratene til modulene til og .
Mer generelt, for et system hvis tilstandsvektor er en lineær kombinasjon av skillebare tilstander , er sannsynligheten for at resultatet av tiltaket som definerer skillet er det samme som om systemet hadde vært i tilstanden er:
,hvor de er de lineære koeffisientene til tilstandsvektoren.
For å forenkle beregninger normaliseres tilstandsvektorer generelt slik at nevneren er lik en. Dette påvirker ikke sannsynlighetsberegningene på noen måte. I praksis skrives derfor Bors regel oftest:
,eller:
Karakterisert ved at proporsjonalitets koeffisienten er motstående til den normalisering forhold: ,Born's regel er et av de vanskeligste postulatene fra kvantemekanikken å forstå. Det er også gjenstand for kontrovers, om ikke bare fordi den aksiomatiske statusen blir stilt spørsmål ved minst to tolkninger: tolkningen av flere verdener og den transaksjonelle tolkningen . I følge disse to tolkningene kan Bors regel utledes fra dypere matematiske og fysiske betraktninger.
Når vi etter et eksperiment er sikre på å alltid oppnå det samme måleresultatet , sier vi at det fysiske systemet som er vurdert er i tilstanden . Dette betyr imidlertid ikke at vi med sikkerhet vet resultatet av en måling utført med en annen eksperimentell enhet. Med andre ord, til og med full kunnskap om tilstanden til et system garanterer ikke perfekt kunnskap om resultatene av noe eksperiment gjort på det.
Så for eksempel, hvis vi måler posisjonen til en partikkel i tilstanden , er vi sikre på at vi vil oppnå , men på den annen side er det ikke på forhånd mulig å vite med sikkerhet hva resultatet av måling av impuls, fordi ellers partikkelen vil også være i tilstanden , som ikke er det generelle tilfellet og derfor utgjør en ad-hoc- hypotese .
Mer generelt, hvis vi for en bestemt måleprosess A betegner alle de perfekt bestemte måleresultattilstandene, så er i kraft av superposisjonsprinsippet også alle mulige lineære kombinasjoner mulige tilstander for visse systemer:
Disse lineære kombinasjoner, noen kan meget godt være i stand til å perfeksjonere betingelser som er bestemt for en annen måleprosessen B . Spørsmålet er, hva kan være et resultat av målingen A for disse "rene" stater B .
Den sannsynlige tolkningen av de lineære koeffisientene antyder da at måleresultatet, hvis det ikke er deterministisk, fremdeles vil være statistisk lik matematisk forventning :
Dette uttrykket er en sesquilinear form av koeffisientene . I vektordelen som genereres av les , kan vi derfor skrive dette uttrykket ved hjelp av et skalarprodukt der basen er ortonormal . Det er valget av dette skalære produktet som gir mening til bh-ket-notasjonen: BH-vektorene, bemerket "til venstre", er da elementene i det doble rommet i ket-tilstandsrommet. Vi har da forholdet:
hvor er Kronecker-symbolet .
Uttrykket av den matematiske forventningen kan da skrives:
Begrepet antyder introduksjonen av den lineære operatoren hvis egenvektorer er og hvis tilknyttede egenverdier er de mulige verdiene til måleresultatene. Denne operatoren kalles den observerbare i forbindelse med måleprosessen A . Det er ingenting annet enn et matematisk verktøy som gjør det mulig å beregne den matematiske forventningen til måleresultatet, forventningen som deretter skrives:
Interessen for et slikt uttrykk er at det ikke lenger avhenger eksplisitt av basen . Vi får dermed abstraksjon og vi forenkler beregningene, litt som i analytisk geometri der det ofte er lettere å manipulere vektorene med deres abstrakte notasjon i stedet for med koordinatene i en bestemt base.
Fra elementære algebraiske betraktninger er det lett å overbevise seg selv om at det observerbare er en selvtilstøtende operator som kan skrives som en funksjon av dens egenvektorer og egenverdier som følger:
Når vi har nok observasjoner til å beskrive ethvert måleresultat, sier vi at vi har et komplett sett med pendlingsobservasjoner , og dette er i det hermitiske rommet generert av egenvektorene til disse observasjonene. Som vi jobber.
Ved konstruksjon gjør prikkproduktet i tilstandsrommet det mulig å beregne sannsynligheten for måleresultater. Det er da lett å forstå at de lineære operatorene som holder dette skalære produktet spiller en veldig viktig rolle i kvantemekanikken. I lineær algebra kalles disse operatørene som holder prikkproduktet enhetsoperatører . De har den vesentlige egenskapen å være motsatt av deres stedfortreder:
Generell sakSiden det beholder det skalære produktet, forvandles en enhetsoperatør til et fysisk umulig rom, fordi det gir nøyaktig de samme målesannsynlighetene. Omvendt er det rimelig å anta at en operatør som forvandler tilstandsrommet til et umulig rom er enhetlig.
Hensynet til settet til alle enhetsoperatørene på , så vel som til en delmengde som kan parametreres kontinuerlig av en skalar μ, gjør det mulig å tilnærme seg til første rekkefølge i μ:
hvor er en vilkårlig a priori lineær operator som kan, uten å miste i allmenhet, skrives i form .
Ved å skrive ned enhetsforholdet til kommer det, og forblir i første rekkefølge:
Det vil si at det er selvassistent.
Kort fortalt, når det er en parameter som kontinuerlig forvandles til et fysisk umulig rom , eksisterer det en enhetsoperatør og en observerbar mengde slik at den forvandles til og:
Ved å sette likhetstegn til , og merke vektoren av slik at , vises som økningen av for en forsvinnende variasjon av μ i nærheten av null, slik at det kan skrives:
der avhengigheten av en er underforstått ( ).
Schrödingers ligningDe forrige betraktningene kan brukes til å introdusere Schrödinger-ligningen fra et teoretisk synspunkt, takket være et symmetriprinsipp der fysikkens lover er uforanderlige i tid. En annen måte å si dette på er å si at et eksperiment utført i et statsrom ikke kan skilles fra et identisk eksperiment utført i et statsrom . Vi kan derfor bruke de forrige resultatene ved å ta t (eller -t) for :
Faktoren blir introdusert her for å tilfredsstille dimensjonale begrensninger som tidligere ble ignorert. Det detaljerte uttrykket for det observerbare , kalt en Hamiltonian etter analogi med klassisk mekanikk , oppnås oftest ved hjelp av korrespondanseprinsippet .
Denne formuleringen av Schrödinger-ligningen er ganske forskjellig fra den historiske formuleringen, og som sådan blir den noen ganger referert til som den generaliserte og tidsavhengige Schrödinger-ligningen .
Puls og vinkelmomentNår det gjelder Schrödinger-ligningen, men denne gangen ved å anvende prinsippet der fysikkens lover er uforanderlige i rommet, introduserer vi det observerbare av det lineære momentet (også kalt momentum ) og dets tre romlige komponenter:
Tilfellet med vinkelmoment (noen ganger kalt mer eksplisitt vinkelmoment ) behandles på samme måte, men for rotasjoner i rommet.
Gitt to operatører A og B, ikke nødvendigvis observerbare, definerer vi kommutatoren deres som følger:
Denne operatøren spiller en veldig viktig rolle i kvantemekanikken. For eksempel når vi er interessert i utviklingen av den matematiske forventningen om en observerbar A for en tilstand :
Vi oppnår ved hjelp av Schrödinger-ligningen og med notasjonen :
uttrykk som utgjør Ehrenfests teorem .
Kommutatoren er analog med Poisson-braketten til klassisk mekanikk. Det er også involvert i forklaringen og beskrivelsen av usikkerhetsprinsippet .
Eiendommer:
I praksis er staten oftest skrevet i en base av tilstander med perfekt bestemt romlig posisjon:
Her spiller integrasjonen rollen som summeringen brukt ovenfor, spesielt i uttalelsen om superposisjonsprinsippet, idet forskjellen er at den handler om en kontinuerlig sum, det vil si om summen av en uendelig uendelig liten termer.
Funksjonen kalles “bølgefunksjon” og det er på den de fleste beregningene som er oppnådd fra Schrödinger-ligningen er gjort.
Å skrive Schrödinger-ligningen ikke lenger som en funksjon av men av bølgefunksjonen gjøres ved å erstatte hver sikt av Hamiltonian med de tilsvarende uttrykkene avhengig av bølgefunksjonen. For eksempel er impulsen skrevet som sett ovenfor der T ( x ) er den enhetlige operatøren av oversettelse av lengde x i rommet, det vil si slik at:
.Fra da av kommer det:
Ved å endre variabelen under integralen, og huske at ligningen er skrevet i nærheten av x = 0, følger den:
Med andre ord virker pulsoperatøren på tilstandsvektoren ved å gi en vektor hvis koordinater i den romlige representasjonen er derivatene av bølgefunksjonen (med unntak av en faktor ignorert her). Dette gjør det mulig å utføre alle beregningene bare på bølgefunksjonen og dermed redusere til oppløsningen til en delvis differensialligning , det vil si til Schrödinger-ligningen i en form nærmere dens historiske form:
Bors regel innebærer at resultatet av et eksperiment kan være ubestemmelig selv når tilstanden til systemet er perfekt bestemt. Denne ubestemmelsen er iboende for systemet, og på en måte som ikke har noe klassisk ekvivalent. Imidlertid kan en uvitenhet om systemets eksakte tilstand også rettferdiggjøre en sannsynlig beskrivelse i begrepets klassiske betydning, det vil si med vanlig aksept av sannsynlighetslovene.
Dermed er det fortsatt på en ortonormal tilstandsbasis , selv om den eksakte tilstanden er ukjent, mulig å tildele den en sannsynlighetsfordeling , hvor er sannsynligheten for at systemet er i kvantetilstand . Spørsmålet er da hvordan man skal gjøre rede for denne typen sannsynlighet i beregningene.
Studiet av systemet er redusert til måling av tilgjengelige observasjoner, som i seg selv reduseres til måling av gjennomsnittsverdien som er skrevet, for en observerbar og hvis systemet er i tilstand :
Siden systemet er i en ukjent tilstand, men med sannsynlighetsfordelingen , blir den matematiske forventningen:
Dette uttrykket er på en måte en matematisk dobbel forventning, idet det tas hensyn til både kvante- og klassiske sannsynligheter. Begrepene er faktisk matematiske forventninger for sannsynlighetsfordelinger knyttet til superposisjonsprinsippet og Bors regel. Uttrykket er for sin del en matematisk forventning assosiert med en sannsynlighetsfordeling som reflekterer uvitenhet om systemets virkelige tilstand, det vil si en klassisk sannsynlighetsfordeling.
Den matematiske forventningen kan da skrives:
Uttrykket er det som kalles tetthetsmatrisen assosiert med sannsynlighetsfordelingen i basen . er sporet .
Tetthetsmatrisen er, i likhet med de observerbare, bare et matematisk verktøy som tillater beregning av de matematiske forventningene til måleresultatene, men i motsetning til observerbare, inneholder tetthetsmatrisen å ta hensyn til en mulig uvitenhet om systemets eksakte tilstand .
I kvantemekanikk er det noen problemer og fag som nå er veldig godt analysert, og som er veldig nyttige for forståelsen av andre systemer. De er en integrert del av det teoretiske korpuset og blir behandlet i detalj i alle lærebøker.
De grunnleggende prinsippene som er angitt ovenfor er allerede tilstrekkelige for å forklare en av de viktigste egenskapene til materie: skillet mellom bosoner og fermioner .
Faktisk stammer dette skillet hovedsakelig fra det statlige romets vektorkarakter og dets sannsynlige tolkning. Hvis vi betrakter et fysisk system (eller mer enkelt og greit en partikkel) og noterer dets tilstand, vil et fysisk system som består av to av disse partiklene bli skrevet ved hjelp av tensorproduktet til de to vektorene.
Spørsmålet som da oppstår er det å vite hvordan systemet oppfører seg hvis vi ved tanken inverterer rollene som de to partiklene spiller. Med andre ord lurer vi på forholdet mellom og . Disse to systemene er helt analoge, når partiklene anses som skiller seg ut, må de oppføre seg på samme måte. Deres sannsynlighetsfordeling er derfor den samme, og de er derfor forbundet med en skalar :
Nå, hvis vi inverterer partiklene igjen, må vi nødvendigvis oppnå det opprinnelige systemet igjen, slik at:
Selv blant komplekse tall er det bare to kvadratrøtter av enhet: 1 og -1. Dette innebærer at det bare kan være to svært forskjellige typer partikler, de som de bosoner , og de som de fermioner (disse navnene refererer til fysikerne som oppdaget de tilhørende statistikk: Satyendra Nath Bose og Enrico Fermi ).
Fra dette følger direkte prinsippet om utelukkelse av Pauli , som bare fermionene adlyder. Tenk for eksempel på en fermion og forestill deg to partikler av denne arten i nøyaktig samme tilstand .
Vi har: og derfor:
Med andre ord er sannsynligheten for at to fermioner er i samme tilstand alltid null. En slik eiendom er av stor betydning i naturen. Vi skylder ham så stort sett kroppens ugjennomtrengelighet (en) .
Omvendt har bosoner en tendens til å klynges med hverandre fordi deres amplituder av sannsynligheter forstyrrer konstruktivt når de er i samme tilstand. Dette er årsaken til mange fenomener, for eksempel stimulert utslipp , som er grunnlaget for driften av lasere .
Betraktninger som kan sammenlignes med beregningene som er gjort ovenfor, gjør det mulig å forstå at et jevnt antall fermioner oppfører seg som bosoner. Dette er årsaken til fenomener som superledningsevne , der elektroner danner Cooper-par . Dette er også hva som forklarer forskjellene i atferd mellom de forskjellige isotopene av helium : i et atom av helium 4 ( 4 He) er hver partikkel til stede i duplikat (to elektroner, to protoner og to nøytroner, som danner Cooper-par), noe som gjør dette atomet er et boson. Dette er ikke tilfelle i atomet av helium 3 ( 3 He), som bare har ett nøytron, som gjør dette atomet til en fermion; som kan kombineres med et annet helium 3-atom for å danne et Cooper-par boson.
Den bosoniske eller fermioniske karakteren til partikler er knyttet til deres spinn , ved det som kalles den spin-statistiske teoremet .
Blant systemene som kan løses analytisk i kvantemekanikk, har en av dem spesiell betydning både historisk og teoretisk. Dette er den harmoniske oscillatoren .
I klassisk mekanikk er den harmoniske oscillatoren et system av stor betydning fordi det utgjør en god tilnærming av ethvert stabilt system rundt en likevektsposisjon. I et tilstrekkelig enhetssystem er energilikningen skrevet:
Hvor og er henholdsvis impulsen og posisjonen til mobilen.
I kvantemekanikk er ligningen formelt den samme, men mengdene som er involvert er av ulik natur. I stedet for å være sanntidsavhengig skalar, er momentum og posisjon lineære operatorer på tilstandenes vektorrom. Disse størrelsene kan manipuleres algebraisk som med normale skalarer, bortsett fra at det er en ikke-kommutativ algebra. Det må derfor tas hensyn til bryterne mellom de aktuelle operatørene. I dette tilfellet bytter du mellom og er:
Oppløsningen til systemet går deretter gjennom en faktorisering inspirert av den bemerkelsesverdige identiteten . Mens man husker det , introduserer man altså to operatører (med en faktor for normalisering i nærheten):
Av årsaker som vises under beregning (se detaljert artikkel ), kalles disse operatørene henholdsvis kvanteopprettelses- og utslettelsesoperatorer, eller skalaoperatorer . En resonnement ved gjentakelse gjør det mulig å vise den kvantifiserte karakteren til de mulige energinivåene, og å beregne verdiene. Disse kvantene er den mekaniske analogen til fotoner, og som sådan kalles de noen ganger fononer .
Denne introduksjonen av skaper- og utslettelsesoperatører er en ganske symbolsk teknikk for kvantefysikk. Det finnes for eksempel i teorien om kvantevinkelmoment eller i kvantefeltsteori .
Et av de enkleste systemene i kvantemekanikken er den frie partikkelen, hvis energi reduseres til sin kinetiske komponent . Schrödinger-ligningen skrives deretter:
Løsningene er av formen:
Tunneleffekten betegner egenskapen som et kvanteobjekt har til å krysse en potensiell barriere selv om energien er mindre enn minimumsenergien som kreves for å krysse denne barrieren. Det er en ren kvanteffekt, som ikke kan forklares med klassisk mekanikk. For en slik partikkel avbryter ikke bølgefunksjonen, hvor kvadratet til modulen representerer tettheten av sannsynligheten for tilstedeværelse, på nivået av barrieren, men dempes inne i barrieren, praktisk talt eksponentielt for en ganske bred barriere. Hvis partikkelen ved utgangen av den potensielle barrieren ikke har null sannsynlighet for tilstedeværelse, kan den krysse denne barrieren. Denne sannsynligheten avhenger av tilstandene som er tilgjengelige på begge sider av barrieren, samt av den romlige forlengelsen av barrieren.
Historisk sett er elektronets spinn først og fremst et eksperimentelt fenomen som ble observert spesielt under eksperimentet til Stern og Gerlach . I det vesentlige ser det ut som et slags veldig svakt magnetisk øyeblikk som kun tillater to mulige verdier, som er motsatte og som ikke varierer kontinuerlig langs måleaksen. Det er derfor en mengde som ikke respekterer trigonometriens romlige lover, i det minste i utseende , mens den er retningsbestemt. Disse ganske nysgjerrige observasjonene kunne bare forklares med kvantemekanikk.
Elektronens spinn er derfor en størrelsesorden a priori retningsbestemt som bare kan ta to verdier av lik størrelse og motsatt retning. De tilsvarende kvantetilstandene blir da generelt betegnet og . Disse tilstandene avhenger av en bestemt observasjonsakse, tradisjonelt plassert vertikalt, det vil si langs aksen .
Med et tilstrekkelig utvalg av enheter betyr dette at for et elektron i tilstanden vil målingen av det magnetiske rotasjonsmomentet i følge gi +1 som måleresultat helt sikkert. På samme måte vil et elektron i tilstanden nødvendigvis gi -1 som resultat av måling langs den samme aksen.
Derfor, og danner basen til et todimensjonalt vektorrom, og det observerbare assosiert med måling av spinnet langs aksen blir deretter skrevet, i matrisepresentasjon:
(indeks 3 er valgt her fordi aksen tradisjonelt er den tredje aksen til den romlige trihedronen)
Ved anvendelse av superposisjonsprinsippet er enhver lineær superposisjon av og er også en mulig tilstand for elektronet. Blant disse lineære kombinasjonene er det noen som er egenvektorene til to matriser og :
, og form med enhetsmatrisen det som kalles Pauli-matriser .
Betraktningen av en enhetsvektor og av den observerbare: gjør det da mulig å vise følgende gjennomsnittsverdi for for staten :
hvor er vinkelen vekk fra aksen .
Med andre ord, så snart og er knyttet til målbare parametere knyttet til måling av spinn langs aksene og deretter reglene for trigonometri vises, men med en sannsynlighets betydning. Dette er et typisk resultat av kvantemekanikken.
Elektronens spinn spiller en veldig viktig rolle i kvantemekanikken, på den ene siden fordi det er et fenomen som ikke har noen klassisk ekvivalent, og på den andre siden fordi det er et av de enkleste kvantesystemene i den grad det bare har to tilstander (eller mer presist, dens vektorrom har dimensjon to). Som sådan brukes det ofte som en studiemodell for mer komplekse systemer, selv når det underliggende fysiske fenomenet er helt annerledes. Det symbolske eksemplet er Ising-modellen .
Richard Feynman introduserte i oppgaven i 1942 forestillingen om stiintegral for å presentere en ny formulering av kvantemekanikk. Disse resultatene vil ikke bli publisert før 1948 på grunn av andre verdenskrig. Til slutt vil målet med denne tilnærmingen være å formulere en teori om kvanteelektrodynamikk ved å utvikle baneintegral kvantisering. Hvis vi i dag beholder den Hamiltonianske formalismen til kvantemekanikk for å håndtere klassiske problemer (i ikke-relativistisk forstand), viser det seg at Feynmans formulering i stor grad er dominerende for å håndtere relativistiske problemer, spesielt i kvantefeltsteori , jeg har en fordel som følge av det faktum at denne tilnærmingen ikke er forstyrrende.
I tillegg, i 1953, brukte Feynman sin tilnærming til å formulere kvantestatisk mekanikk (en) etter baneintegral ( Wiener-integral , Feynman-Kac-formel (en) ) og prøvde å forklare lambdaovergangen i superfluid helium.
Kvantemekanikk er en "ikke-relativistisk" teori: den inkluderer ikke prinsippene for spesiell relativitet . Ved å anvende reglene for kanonisk kvantisering på det relativistiske spredningsforholdet, får vi Klein-Gordon-ligningen (1926). Løsningene i denne ligningen gir imidlertid alvorlige tolkningsvansker innenfor rammen av en teori som skal beskrive "en enkelt partikkel": man kan ikke spesielt konstruere en "tetthet av sannsynlighet for tilstedeværelse" overalt positiv, fordi ligningen inneholder et andre gangs derivat . Dirac vil da lete etter en annen relativistisk ligning av "første orden i tid", og vil oppnå ligningen av Dirac , som veldig godt beskriver fermionene til å spinne halvparten som elektronet.
Den kvantefeltteori for å tolke alle relativistisk kvantemekanikk ligninger uten problemer.
Den Diraclikningen inneholder naturligvis den Lorentz invarians med kvantemekanikk, så vel som interaksjonen med det elektromagnetiske felt , men som fortsatt er behandlet på klassisk måte (vi snakker om semi-klassiske tilnærming ). Det utgjør relativistisk kvantemekanikk . Men nettopp på grunn av denne interaksjonen mellom partiklene og feltet, er det da nødvendig, for å oppnå en sammenhengende beskrivelse av helheten, å anvende kvantifiseringsprosedyren også på det elektromagnetiske feltet. Resultatet av denne prosedyren er kvanteelektrodynamikk der enheten mellom felt og partikkel er enda mer gjennomsiktig siden nå også saken er beskrevet av et felt. Kvanteelektrodynamikk er et spesielt eksempel på kvantefeltsteori .
Andre kvantefeltteorier ble deretter utviklet etter hvert som de andre grunnleggende interaksjonene ble oppdaget ( elektrosvak teori , deretter kvantekromodynamikk ).
De Heisen usikkerhet relasjoner reflektere umuligheten av å fremstille en kvantetilstand svarende til nøyaktige verdier av visse par av konjugerte mengder. Dette er knyttet til det faktum at kvanteoperatørene knyttet til disse klassiske mengdene " ikke pendler ".
Heisenbergs ulikheter betegnes ofte med uttrykket "usikkerhetsprinsipp". Strengt tatt er dette navnet misvisende: disse ulikhetene er ikke et prinsipp fordi de demonstreres perfekt takket være analysen av Fourier , og de gjelder ikke usikkerhet i begrepet fornuft, men en egen ubestemmelighet, spesifikk for den tilfeldige naturen. av kvantemekanikk.
Tenk for eksempel på posisjonen og momentet til en partikkel. Ved å bruke reglene for kanonisk kvantisering er det enkelt å verifisere at posisjons- og momentumoperatørene tilfredsstiller:
Usikkerhetsforholdet er definert fra gjennomsnittlige kvadratiske avvik for de kombinerte størrelsene. Når det gjelder posisjonen og momentet til en partikkel, skrives det for eksempel:
Jo mer staten har en stram fordeling på posisjonen, desto mer er fordelingen på verdiene til impulsen knyttet til den bred. Denne egenskapen minner om tilfellet av bølger, via et resultat av Fourier-transformasjonen , og uttrykker her bølgepartikkel-dualiteten. Det er klart at dette fører til et spørsmålstegn ved den klassiske oppfatningen av bane som en differensierbar kontinuerlig vei.
Det er også et usikkerhetsforhold knyttet til energien til en partikkel og tidsvariabelen. Dermed verifiserer varigheten som kreves for å oppdage en energipartikkel i nærheten forholdet:
Imidlertid er avledningen av denne energitidsulikheten ganske forskjellig fra ulikheter i posisjon-momentum.
Hvis Hamiltonian faktisk er generatoren for oversettelser i tid i Hamiltonian mekanikk , noe som indikerer at tid og energi er konjugert, er det ingen tidsoperatør i kvantemekanikk (Paulis “teorem”), det er altså, vi kan ikke konstruere en operator som adlyder et kanonisk kommuteringsforhold med den Hamilton-operatøren :
dette av en veldig grunnleggende årsak: kvantemekanikk ble faktisk oppfunnet slik at hvert stabile fysiske system har en "grunnleggende tilstand av minimumsenergi". Paulis argument er som følger: hvis tidsoperatøren eksisterte, ville den ha et kontinuerlig spektrum. Imidlertid vil tidsoperatøren, som adlyder det kanoniske kommuteringsforholdet, også være generatoren for "energioversettelser". Dette innebærer da at den Hamilton-operatøren også ville ha et "kontinuerlig spektrum", i strid med det faktum at energien til ethvert stabilt fysisk system må begrenses nedenfor .
Begrepet kvanteforvikling spiller inn når to systemer og betraktes som en helhet som å danne et enkelt system . Denne påstanden kan verifiseres for eksempel i det enkle tilfellet hvor tilstandsrommene til og har for basene egenvektorene og to observerbare og virker henholdsvis på og .
og nødvendigvis også handle på siden består av foreningen av og . Vi kan derfor merke tilstandsvektoren til slik at i denne tilstanden måler man gir uten feil og måling gir uten feil .
I henhold til superposisjonsprinsippet er alle lineære kombinasjoner av tilstandsvektorer mulige tilstander i systemet. Imidlertid er det slike vektorer, og derfor er vektorområdet de genererer i det minste av dimensjon . Generelt sett er denne dimensjonen større enn , det vil si antall frihetsgrader som er nødvendige for å beskrive systemene og vurderes separat.
Det ser derfor ut til at den generelle beskrivelsen av de to systemene som helhet ikke generelt kan reduseres til den for de to systemene tatt hver for seg. Med andre ord er det tilstander av slike at det ikke er noen tilstand av og ingen tilstand av , det vil si ingen lineær kombinasjon av eller noen lineær kombinasjon som gjør det mulig å oppnå sannsynligheten for måleresultater. Slike tilstander av sies da å være viklet inn . Et slikt eksempel på en sammenfiltret tilstand er:
To systemer eller to partikler kan vikles inn så snart det er en interaksjon mellom dem. Som et resultat er sammenfiltrede stater regelen snarere enn unntaket. En måling utført på en av partiklene vil endre kvantetilstanden i henhold til kvantepostulatet til målingen. På grunn av sammenfiltringen vil denne målingen ha en øyeblikkelig effekt på tilstanden til den andre partikkelen, selv om universelinjen som forbinder de to hendelsene " mål 1 " og " mål 2 " av romtid er en romlignende kurve ! Følgelig er det faktum at kvantemekanikk tåler eksistensen av viklet tilstander, tilstander som faktisk har blitt observert i laboratoriet, og hvis oppførsel er i overensstemmelse med det forutsagt av kvantemekanikk (se Aspect eksperimentet ), innebærer at kvantemekanikken er en ikke- lokal fysisk teori . ER = EPR- formodningen tolker denne ikke-lokaliteten som en grunnleggende egenskap for romtid, som vil være i substans generert av fenomenet kvanteforvikling.
Imidlertid er det feil å sidestille kvanteforvikling med overføring av informasjon raskere enn lysets hastighet (og derfor et brudd på relativitetsteorien). Årsaken er at resultatet av målingen knyttet til den første partikkelen alltid er tilfeldig, når det gjelder sammenfiltrede tilstander som i tilfelle ikke-sammenfiltrede tilstander. Det er derfor umulig å "overføre" noen som helst informasjon, siden modifisering av tilstanden til den andre partikkelen, uansett hvor øyeblikkelig den måtte være, fører til et resultat av målingen relatert til den andre partikkelen, som alltid også er tilfeldig enn den som vedrører den første partikkelen. Korrelasjonene mellom målingene av de to partiklene, selv om de er veldig reelle og demonstrert i mange laboratorier over hele verden, vil forbli uoppdagelige så lenge resultatene av målingene ikke sammenlignes, noe som nødvendigvis innebærer en klassisk utveksling av informasjon, med respekt for relativitet ( se også EPR Paradox ).
De quantum teleporte gjør bruk av sammenfiltring til å overføre kvantetilstand av et fysisk system til et annet fysisk system. Denne prosessen er den eneste kjente måten å overføre kvanteinformasjon perfekt. Den kan ikke overstige lysets hastighet og er også "kroppsløs" ved at det ikke er materieoverføring (i motsetning til den fiktive teleporteringen i Star Trek).
Denne tilstanden skal ikke forveksles med tilstanden til "superposisjon". Det samme kvanteobjektet kan ha to (eller flere) "overlagrede" tilstander. For eksempel kan den samme foton være i "langsgående polaritet" og "tverrgående polaritet" samtidig. Den Schrödingers katt er samtidig i staten "døde" og "levende". En foton som passerer en semi-reflekterende plate er i overlagret tilstand "transmittert foton" og "reflektert foton". Det er først under målehandlingen at kvanteobjektet vil ha en bestemt tilstand.
I kvantfysikkens formalisme er en sammenviklingstilstand av "flere kvanteobjekter" representert med et tensorprodukt av tilstandsvektorene til hvert kvanteobjekt. En tilstand av superposisjon gjelder bare "et enkelt kvanteobjekt" (som kan være en vikling), og er representert av en lineær kombinasjon av de forskjellige mulighetene for tilstander av denne.
Vi kan bare bestemme tilstanden til et kvantesystem ved å observere det, noe som har den effekten at den aktuelle staten ødelegges. Når den derimot er kjent, kan den i prinsippet gjenskapes andre steder. Med andre ord, "duplisering" er ikke mulig i kvanteverdenen, bare "rekonstruksjon på et annet sted" er mulig, nær begrepet teleportering i science fiction .
Teoretisk utviklet i 1993 av CH Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres og W. Wootters i artikkelen Teleportere en ukjent kvantetilstand av doble klassiske og EPR-kanaler , av Physical Review Letter , dette rekonstruksjon ble utført eksperimentelt i 1997, på fotoner, av Anton Zeilinger team i Innsbruck, og nylig på hydrogenatomer .
Tallrike eksperimenter har vist at fenomener beskrevet av kvantemekanikk, som spinn eller kvanteforvikling , er veldig reelle. Blant de mest kjente kan vi spesielt nevne:
Disse "paradoksene" stiller spørsmål ved fortolkningen av kvantemekanikken, og avslører i visse tilfeller i hvilken grad vår intuisjon kan være misvisende på dette feltet som ikke direkte relaterer seg til den daglige opplevelsen av våre sanser.
Dette paradokset (1935) fremhever problemene med tolkning av postulatet for reduksjon av bølgepakken .
Dette paradokset (1935) fremhever ikke-lokaliteten til kvantefysikk, underforstått av sammenfiltrede stater .
Dette eksperimentet kan tolkes som en demonstrasjon av at resultatene av et eksperiment registrert på en gang T objektivt avhenger av en handling utført på et senere tidspunkt T + t. I følge denne tolkningen er ikke-lokasjonen til de sammenfiltrede statene ikke bare romlig, men også tidsmessig.
Imidlertid er kausalitet ikke strengt krenket fordi det av grunnleggende grunner ikke er mulig å demonstrere, før tid T + t, at tilstanden registrert på tidspunktet T avhenger av en påfølgende hendelse. Dette fenomenet kan derfor ikke gi noen informasjon om fremtiden.
I følge kvantemekanikken påvirket hendelser som "kunne ha skjedd, men ikke", resultatene av eksperimentet.
Mens prinsippene for kvantemekanikk på forhånd gjelder alle objekter som finnes i universet (inkludert oss), hvorfor fortsetter vi klassisk å oppfatte det essensielle i den makroskopiske verdenen ? Spesielt, hvorfor er kvanteoverlag ikke observerbare i den makroskopiske verdenen? Teorien om dekoherens forklarer deres veldig raske forsvinninger på grunn av den uunngåelige koblingen mellom kvantesystemet som vurderes og dets miljø.
Denne teorien har fått eksperimentell bekreftelse med studier på mesoskopiske systemer der dekoherensetiden ikke er for kort til å forbli målbar, for eksempel et system med noen få fotoner i et hulrom.
Anvendelser av kvantemekanikk inkluderer halvledere , transistor , laser , elektronmikroskop og kjernemagnetisk resonans . En spesiell kategori av applikasjoner er dedikert til makroskopiske kvantefenomener som helium- superfluiditet eller superledningsevne . Studiet av halvledere førte til oppfinnelsen av dioden , transistoren og den integrerte kretsen , viktige elementer i moderne elektronikk .
Tilgjengelig på lavere nivå.
Tilgjengelig fra andre syklus av universitetet.
Tilgjengelig uten tidligere fysisk bagasje.
Det er mange tolkninger av kvantemekanikk , noen i strid med andre. I fravær av observerbare konsekvenser av disse tolkningene, er det ikke mulig å bestemme seg for den ene eller den andre av disse tolkningene. Det eneste unntaket er Københavns skole, hvis prinsipp nettopp er å nekte enhver tolkning av fenomener.
Diagram over hovedtolkningeneLøsningstreet til måleproblemet | |||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kvanteteori | |||||||||||||||||
Er ikke ment å representere virkeligheten | Representerer ikke fullt ut virkeligheten | Fullstendig representerer virkeligheten | |||||||||||||||
Positivisme | Modifiserte kvantelover | Innflytelse av bevissthet | Tillegg av en ekstra variabel: posisjonen | Kvantadekoherens | Flere universer | ||||||||||||
Stephen Hawking Niels Bohr |
Roger penrose | Eugene Wigner | De Broglie-Bohm teori |
Roland Omnès Murray Gell-Mann James Hartle |
Hugh Everett David Deutsch |
||||||||||||
Giancarlo Ghirardi Alberto Rimini Wilhelm Eduard Weber |
John von Neumann Fritz London og Edmond Bauer |
John bell |
Hans-Dieter Zeh Wojciech Zurek |
||||||||||||||
Bernard d'Espagnat Olivier Costa de Beauregard |