Metrisk rom

I matematikk og nærmere bestemt i topologi er et metrisk rom et sett der en forestilling om avstand mellom elementene i settet er definert. Elementene vil generelt kalles poeng.

Ethvert metrisk område er kanonisk utstyrt med en topologi . De metriserbare rommene er de topologiske rommene som oppnås på denne måten.

Eksemplet som passer best til vår intuitive opplevelse av rommet er tredimensjonalt euklidisk rom . Den euklidiske beregningen av dette rommet definerer avstanden mellom to punkter som lengden på segmentet som forbinder dem.

Isometri- klassen til et metrisk rom (det vil si settet med alle mellomrom med samme metriske struktur) er mye mindre enn klassen homeomorfie . For eksempel er en firkant, en trekant, en sirkel og en hvilken som helst Jordan-kurve homomorf, men de er ikke isometriske. Dermed koder en metrisk struktur mye mer informasjon om objektenes geometriske form enn en enkel topologisk struktur; noe som ikke er overraskende, fordi begrepet avstand mellom to punkter er sentralt for vanlig geometri.

Begrepet metrisk rom ble først formulert av den franske matematikeren René Maurice Fréchet i sin avhandling forsvarte i 1906.

Definisjon

Definisjon (metrisk mellomrom) - Et metrisk mellomrom er et par der det er et ikke-fritt sett og er en avstand over , det vil si et program som tilfredsstiller følgende tre egenskaper. $(E, d)$ $E$ $d$ $E$ ${\ displaystyle d: E \ times E \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}}$

Symmetri: . ${\ displaystyle \ forall x, y \ i E, \, d (x, y) = d (y, x)}$
Separasjon: . ${\ displaystyle \ forall x, y \ i E, \, d (x, y) = 0 \ Venstre pil x = y}$
Trekantet ulikhet . ${\ displaystyle \ forall x, y, z \ i E, \, d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)}$

For enkelhets skyld vil et metrisk rom noen ganger bare bli referert av settet og ikke av paret når det ikke er tvetydighet om den underliggende avstanden . $E$ $(E, d)$ $d$

Topologi av et metrisk rom

Ball og sfære

Definisjon (ball og sfære) - La være et metrisk rom, og . Vi definerer den åpne og lukkede ballen , sentrert i og med radius, som følger. $(E, d)$ $eldre$ ${\ displaystyle r \ in \ left] 0, + \ infty \ right [}$ $på$ $r$

Åpne ball: . ${\ displaystyle B (a, r): = \ {x \ i E \, | \, d (a, x) <r \}}$
Ball lukket: . ${\ displaystyle B_ {f} (a, r): = \ {x \ i E \, | \, d (a, x) \ leq r \}}$

Vi definerer også sfæren sentrert i og med radius som følger. $på$ $r$

Sfære . ${\ displaystyle S (a, r): = B_ {f} (a, r) \ setminus B (a, x) = \ {x \ i E \, | \, d (a, x) = r \}}$

Vi merker at en ball, åpen eller lukket, aldri er tom fordi den alltid inneholder sitt sentrum . På den annen side kan en kule være tom. $på$

Noen ganger er det praktisk å definere begrepet stump ball (åpen eller lukket): Dette er ballen, definert som tidligere, fratatt sentrum. For eksempel betegner den stumpe åpne kulen med radius r og sentrum a settet:

${\ displaystyle B (a, r) \ setminus \ {a \}}$ .

Topologi

La være et metrisk rom. Vi definerer settet som består av alle (eventuelle) fagforeninger med åpne baller, mer presist: $(E, d)$ ${\ mathcal {T}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {T}}: = \ {\ cup _ {i \ i I} B (a_ {i}, r_ {i}) \, | \, I {\ text {ethvert sett og}} \ forall i \ i I, \, a_ {i} \ i E, \, r_ {i}> 0 \}}$

der vi anser at en tom union (når ) er verdt det tomme settet . ${\ displaystyle I = \ varnothing}$ $\ varnothing$

Forslag / definisjon (av en metrisk plass topologi) - Settet er en topologi på kalt topologien generert av avstanden . Det betyr at ${\ mathcal {T}}$ $E$ $d$

Det tomme settet så vel som hele settet tilhører . $\ varnothing$ $E$ ${\ mathcal {T}}$
Settet er stabilt av enhver fagforening. ${\ mathcal {T}}$
Settet er stabilt ved endelig skjæringspunkt. ${\ mathcal {T}}$

Definisjon (åpen, lukket og nabolag) - Vi bruker følgende ordforråd.

Elementene i kalles, de åpne av . ${\ mathcal {T}}$ $E$
Delsettene som er skrevet som et supplement til et åpent, derimot, kalles lukket for . $E$ $E$
Et sett sies å være et nabolag av hvis det er et åpent slik at . ${\ displaystyle V \ delmengde E}$ $x \ i E.$ ${\ displaystyle U \ in {\ mathcal {T}}}$ ${\ displaystyle x \ i U \ delmengde V}$

Begrepene åpen, lukket og nabolag er faktisk forestillinger tilskrevet topologiske rom , mer generelle, og er ikke spesifikke for metriske rom.

Første eiendommer

Enhver åpen ball er en åpen.
Enhver lukket ball er en lukket.
Hver sfære er en lukket.
En del A av E er et nabolag av et punkt a hvis og bare hvis A inneholder en åpen ball med sentrum a .
De åpne ballene sentrert på et punkt a utgjør et grunnlag for nabolag av a . Det vil si at ethvert nabolag i en inneholder en åpen ball med sentrum a .
Alle åpne kuler som utgjør en basis åpen av E . Det vil si at ethvert åpent kan skrives som en forening (hvilken som helst) av åpne baller.

Konvergens av suiter

Definisjon (konvergens, adhesjonsverdi, Cauchy-sekvens) - La være en sekvens av et metrisk rom og . ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $(E, d)$ $x \ i E.$

Vi sier at konvergerer til , eller det er grensen for , hvis ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $x$ $x$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ eksisterer n_ {0} \ geq 0, \, \ forall n \ geq n_ {0}, \, d (x_ {n}, x) \ leq \ varepsilon}

Vi sier at det er en adhesjonsverdi på si $x$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ forall n_ {0} \ geq 0, \, \ eksisterer n \ geq n_ {0}, \, d (x_ {n}, x) \ leq \ varepsilon}

Vi sier at det er en Cauchy-sekvens hvis ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ eksisterer n_ {0} \ geq 0, \, \ forall p, q \ geq n_ {0}, \, d (x_ {p}, x_ {q}) \ leq \ varepsilon}

Følgende egenskaper kontrolleres:

En konvergerende sekvens har en unik adhesjonsverdi som er dens grense.
En Cauchy-sekvens konvergerer hvis og bare hvis den har en adhesjonsverdi.

Vedheft av en åpen ball

Den adhesjon av den åpne ballen med radius R og senter en , bemerket , er per definisjon det minste lukket som inneholder den åpne ballen . Det har vi alltid siden den lukkede ballen inneholder den åpne ballen og er lukket. På den annen side er det mulig at denne inkluderingen er streng. For eksempel hvis vi betrakter den virkelige linjen utstyrt med avstanden da , og . ${\ displaystyle {\ overline {B}} (a, r)}$ ${\ displaystyle B (a, r)}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (a, r) \ subset B_ {f} (a, r)}$ ${\ displaystyle d (x, y): = \ min \ {| xy |, 1 \}}$ ${\ displaystyle B (0,1) = \ left] -1,1 \ right [}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (0,1) = \ venstre [-1,1 \ høyre]}$ ${\ displaystyle B_ {f} (0,1) = \ mathbb {R}}$

Merknader

For en hvilken som helst ikke-tom del A av E , kartet som på ethvert punkt x i E assosierer avstand fra x til A (det vil si den inf av avstandene fra x til alle punkter av A ) er sammenhengende fordi 1- Lipschitzian . De x i hvilken den forsvinner er de medlemmene peker til A .
- Ethvert metriserbart topologisk rom er følgelig ikke bare atskilt, men helt normalt - derfor normalt - det vil si at alle singletonene er lukket og at en hvilken som helst lukket F er stedet for kansellering av en kontinuerlig funksjon: applikasjonen x ↦ d ( x , F ).
Spesielt for ethvert element a i E er kartet x ↦ d ( x , a ) 1-Lipschitzian. Vi utleder at:
- en hvilken som helst stengte kule B f ( en , r ) er en lukket ett for topologien forbundet med avstand (som en gjensidig bilde , av dette kartet, av den lukkede [0, r ]). Den adhesjon B ( en , r ) av B ( en , r ) er derfor inkludert i B f ( en , r ), men noen ganger er strengt: se artiklene " Ball (matematikk) " og " Ultrametric avstand ".
- kartet d er 2-Lipschitzian , på produktområdet E × E utstyrt med avstanden d $\infty$ definert av d $\infty$ (( x 1 , x 2 ), ( y 1 , y 2 )) = maks ( d ( x 1 , y 1 ), d ( x 2 , y 2 )).
På hvilken som helst del A av E sammenfaller den induserte topologien med den som er definert av begrensningen av avstanden. Faktisk har de begge som grunnlag for nabolagene til et punkt x av A krysset med A åpne baller av sentrum x .
Et metrisk rom sies å være rent hvis alle de lukkede kulene er kompakte . Ethvert riktig metrisk rom er lokalt kompakt, men det omvendte er falskt (tenk på den diskrete avstanden på et uendelig sett).

Eksempler

En norm N på et reelt eller sammensatt vektorrom induserer naturlig en avstand d ( x , y ) = N ( x - y ).
Ulike vanlige avstander på ℝ n er utledet fra en norm, og for eksempel:
- (for n = 1) er den vanlige avstanden over settet med reelle tall den som er knyttet til den absolutte verdien ;
- (for n = 2) avstanden fra Manhattan på planet ℝ 2 : d ( a , b ) = | x b - x a | + | y b - y a |. Det er avstanden som induseres av norm 1 ;
- (for n = 2) avstanden i sjakk gjør det mulig å vite minimum antall trekk i spillet sjakk for å gå med kongen fra et kvadrat a = ( x a , y a ) til et kvadrat b = ( x b , y b ) og er definert av: d ( a , b ) = max (| x b - x a |, | y b - y a |) ;
Den modulus av differansen mellom to komplekse tall er en avstand.
Den trivielle avstanden (eller også den diskrete avstanden eller den diskrete metriske) er definert på et hvilket som helst sett av: d ( x , y ) = 1 hvis x ≠ y og d ( x , x ) = 0. Den tilhørende topologien er den diskrete topologien .
Den Hamming-avstand blir brukt i korrigerende kode teorien .
De topologiske rommene ℝ og] 0, 1 [ er homeomorfe, men gitt den vanlige avstanden, er de ikke isomorfe som metriske rom ; for eksempel er ℝ komplett, men] 0, 1 [er ikke.
Hvis vi gir ℝ + avstanden d ( x , y ) = | e x - e y |, finner vi den vanlige topologien på ℝ +, men nå er alle polynomfunksjonene jevnt kontinuerlige .

Produkt av metriske mellomrom

Ethvert endelig eller tellbart produkt av metriske rom kan forsynes med en avstand som induserer den ensartede produktstrukturen og a fortiori produkttopologien : for dette, hvis ( E k , d k ) ( k ∈ℕ) er metriske mellomrom, kan vi for eksempel gi E 1 ×… × E n avstanden d N definert av

d_ {N} {\ Big (} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) {\ Big)} = N {\ Big (} d_ {1} (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, d_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) {\ Big)},

der N er en standard ℓ p vilkårlig på ℝ n (eller en hvilken som helst annen standard som vokser på (ℝ + ) n for produktordre ) og gir E = Π k ∈ℕ E k av avstanden d definert av

d (x, y) = \ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} {\ frac {d_ {k} (x_ {k}, y_ {k})} {2 ^ {k}}},

hvor hver avstand på E k blir først eventuelt skiftes ut med en topologisk tilsvarende avstand d k øket med en konstant uavhengig av k . Det er lett å bekrefte at d N og d faktisk er avstander på de tilsvarende settene, og at topologiene som de definerer på disse settene sammenfaller med produkttopologiene (beregningene viser til og med at ikke bare de to topologiene faller sammen, men også de to strukturenes uniformer fra hvilke de kommer, under forutsetning av å ha valgt, i det forutgående utskifting av d k , tilsvarende avstander ensartet og ikke bare topologisk).

Hvis hver d k er den diskrete avstanden , gir dette valget av d : hvis x ≠ y , d ( x , y ) = 2 - k hvor k er den minste n slik at x n ≠ y n . Eksempler er Baire-rom og topologiske ringer av formelle serier .

På den annen side er et ikke-tellbart produkt av ikke- grove topologiske mellomrom aldri metrisk , og ikke engang sekvensielt .

Likestilling av metriske mellomrom

Ved å sammenligne to metriske mellomrom er det mulig å skille forskjellige grader av ekvivalens . For å bevare minst den topologiske strukturen som er indusert av beregningen, kreves det en kontinuerlig funksjon mellom de to.

To metriske mellomrom ( M 1 , d 1 ) og ( M 2 , d 2 ) sies:

topologisk isomorf (eller homeomorf ) hvis det er en homeomorfisme mellom dem;
jevnt isomorfe dersom det foreligger mellom dem et jevnt sammenhengende Bijeksjon som gjensidig er uniformt kontinuerlig.
Lipschitz-ekvivalenter hvis det er en sammenheng fra det ene til det andre som er Lipschitzian så vel som dets gjensidige kart.
isometrisk isomorf hvis det er en-til-en isometri mellom dem. I dette tilfellet er de to mellomrommene i det vesentlige identiske. En isometri er en funksjon f : M 1 → M 2 som bevarer avstandene: d 2 ( f ( x ), f ( y )) = d 1 ( x , y ) for alle x , y i M 1 . Isometrier er nødvendigvis injiserende .
lignende hvis det er en positiv konstant k > 0 og en tilknytning f : M 1 → M 2 , kalt likhet , slik at d 2 ( f ( x ), f ( y )) = k d 1 ( x , y ) for alle x , y i M 1 .
lignende hvis det er en sammenheng f : M 1 → M 2 , kalt likhet, slik at d 2 ( f ( x ), f ( y )) = d 2 ( f ( u ), f ( v )) hvis og bare hvis d 1 ( x , y ) = d 1 ( u , v ) for alle x , y , u , v i M 1 .

To like euklidiske rom er nødvendigvis homeomorfe, derfor av samme dimensjon og derfor isometriske.

Metriserbar plass

Vi sier at et topologisk rom er metriserbart hvis det er en avstand som genererer dets topologi. Her er noen eksempler på metriserbare mellomrom:

Eksempler på metriserbare rom

Sammen	Topologi	Avstand som genererer topologien
ekte rett $\ mathbb {R}$	vanlig topologi generert av åpne intervaller ${\ displaystyle \ left] a, b \ right [}$	avstand assosiert med absolutt verdi
kompleks plan $\ mathbb {C}$	topologi generert av åpne rektangler ${\ displaystyle \ {a <{\ mathfrak {Re}} (z) <b \} \ cap \ {c <{\ mathfrak {Im}} (z) <d \}}$	avstand assosiert med den komplekse modulen
$\ mathbb {R} ^ {d}$	topologi generert av åpne brostein ${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {d} \ left] a_ {i}, b_ {i} \ right [}$	Euklidisk avstand
ekte linje fullført ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$	topologi generert av sett med skjemaet eller hvor ${\ displaystyle \ left] a, + \ infty \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [- \ infty, a \ right [}$ $a \ in \ R$	${\ displaystyle d (x, y) = \| \ arctan (x) - \ arctan (y) \|}$ med konvensjonen som ${\ displaystyle \ arctan (\ pm \ infty) = \ pm \, \ pi / 2}$
Sannsynlighetsmålinger på et målbart rom hvor det kan måles og skilles og hvor den borelianske stammen utpeker ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ^ {1} (X)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}} (X))}$ $X$ ${\ mathcal {B}} (X)$	unik topologi som et grunnlag for nabolag av et mål er gitt av settene hvor de er avgrenset kontinuerlig, og $\ mu$ ${\ displaystyle \ {\ nu \ i {\ mathcal {M}} ^ {1} (X) \, \| \, \ forall 1 \ leq i \ leq n, \| \ mu (f_ {i}) - \ nu (f_ {i}) \| <\ varepsilon \}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ prikker, f_ {n}}$ $\ varepsilon> 0$ $n \ geq 1$	Avstand Lévy-Prokhorov
Vektorrom utstyrt med en tellbar familie av separerende semi-normer (dvs. innebærer at ) $E$ ${\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ ${\ displaystyle p_ {n} (x) = 0 ~ \ forall n}$ $x = 0$	unik topologi slik at et grunnlag for nabolag av en vektor er gitt av settene der er endelig og $x$ ${\ displaystyle \ {y \ i E \, \| \, \ forall i \ i J, \, p_ {i} (xy) <\ varepsilon \}}$ ${\ displaystyle J \ subset \ mathbb {N}}$ $\ varepsilon> 0$	${\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ min (p_ {n} (xy), 1)}$

Det er tilstrekkelige og likeverdige betingelser for at et topologisk rom kan nås:

Den første veldig nyttige skyldes Urysohn ; hun sier at ethvert tellbart grunnleggende rom kan måles (denne formen for tilstanden ble faktisk bevist av Tychonov i 1926. Det Urysohn fant, i en artikkel publisert i 1925, var at ethvert tellbart basenormalt rom er metriserbart). For eksempel kan en hvilken som helst tellbar basen variasjon er metrizable. Også en kompakt kan måles hvis og bare hvis den har et tellbart grunnlag.
Denne tilstrekkelige tilstanden til Urysohn (regularitet + tellbar base) ble forvandlet til en nødvendig og tilstrekkelig tilstand (regularitet + lokalt endelig tellbar base ) av Bing, Nagata og Smirnov .
Smirnov har også bevist at et rom er metriserbart hvis og bare hvis det er parakompakt og lokalt metriserbart (et rom sies å være lokalt metriserbart hvis hvert punkt har et metriserbart nabolag). Spesielt er en variant metrisk, hvis og bare hvis den er parakompakt.

Merknader og referanser

Jean Dieudonné , Elements of analysis , t. I: Fundamenter for moderne analyse [ detalj av utgaver ], 3 e ed. , s. 34 .
(i) CC Heyde og E Seneta, Statistikere i århundrer , Springer,2001( ISBN 978-0-387-95329-8 , leses online ) , s. 331
Maurice Fréchet, “ On some points of function calculus ”, Thesis, Paris. Rendiconti Circolo Mat. Palermo , vol. 22,1906, s. 1-74 ( les online )
Jacques Dixmier , General Topology , PUF , s. 107.
Georges Skandalis , Topology og analyse 3 rd år: leksjoner og øvelser med løsninger , vol. 3, Paris, Dunod ,2004, s. 4.
For mer informasjon, følg for eksempel lenken nederst på siden til Wikiversity .
Henri Bourlès , Précis av inngående og fundamentale matematikk , vol. 2: Utvidelser av felt, topologi og topologiske vektorområder, funksjonelle mellomrom, skiver , London, ISTE,2018, 316 s. ( ISBN 978-1-78405-416-8 , leses online ) , s. 101-102.
Pierre-Loïc Méliot, " Konvergens av målinger, Poisson-prosess og Lévy-prosess " ,2016, s. 12-14
Stéphane Mischler, “ Course in Functional Analysis and PDE at the Ecole Normale Supérieure. Kapittel 1 - Halvstandard og introduksjon til evtlcs ” ,2007

Se også