I matematikk er K- algebraisk teori en viktig gren av homologisk algebra . Dens formål er å definere og anvende en sekvens av funktorer K n fra kategorien av ringene til den av abelsk gruppe . Av historiske grunner er K 0 og K 1 unnfanget i termer som er litt forskjellige fra K n for n ≥ 2. Disse to K- gruppene er virkelig mer tilgjengelige og har flere applikasjoner enn de med høyere indekser. Teorien om sistnevnte går mye dypere, og de er mye vanskeligere å beregne, om ikke for ringen av heltall .
Den abeliske gruppen K 0 ( A ) generaliserer konstruksjonen av gruppen av ideelle klasser av en ring A ved hjelp av A - projiserende moduler . Den ble utviklet på 1960- og 1970-tallet - der " antagelsen om Serre " på projiserende moduler ble setningen til Quillen-Suslin (in) - og har vært knyttet til mange andre klassiske algebraiske problemer. Likeledes, den gruppe K- 1 ( A ) er en modifikasjon av den gruppe av enheter , ved hjelp av de elementære matriser ; det er viktig i topologi , spesielt når A er en gruppering , fordi en kvotientgruppe , Whitehead-gruppen (en) , inneholder Whitehead-torsjonen (en) , brukt i enkel homotopiteori og kirurgi . Gruppen K 0 ( A ) inneholder også andre invarianter , som endelighetsvarianten . Siden 1980-tallet har algebraisk K- teori hatt flere og flere anvendelser innen algebraisk geometri . For eksempel er motivisk kohomologi nært knyttet til den.
Alexandre Grothendieck oppdaget K- teorien på midten av 1950-tallet, som et rammeverk for å etablere sin vidtrekkende generalisering av Riemann-Roch-teoremet . Noen år senere anså Michael Atiyah og Friedrich Hirzebruch like, K- topologisk-teorien (i) .
Fra 1960 ble applikasjoner av K- grupper oppdaget , spesielt i mangfoldige kirurgi , og mange andre lenker til klassiske algebraiske problemer.
Litt senere ble en gren av teorien om operatøralgebraer utviklet med fortjeneste, noe som ga opphav til K- teorien om operatører (en) og KK- teorien (av) . Det ble også klart at K- teorien hadde en rolle å spille i algebraisk geometri, i teorien om sykluser (Gerstens antagelser): de høyere K- teorigruppene var knyttet der til fenomener i høyere kodimensjoner , de vanskeligere å forstå. Gripe.
Problemet oppstod med forskjellige definisjoner av K- teori, ved første øyekast ikke likeverdige. Ved hjelp av Steinberg arbeid på universelle sentrale forlengelser av klassiske algebraiske grupper , John Milnor velger å definere den gruppe K- 2 ( A ) av en ring A som sentrum , isomorf til H- 2 (E ( A ), ℤ) , av den universelle sentrale forlengelse av gruppe E ( A ) som genereres av den uendelige elementære matriser A . Det er et naturlig bilinært kart fra K 1 ( A ) × K 1 ( A ) til K 2 ( A ). I det spesielle tilfellet av et felt k er gruppen K 1 (k) isomorf til multiplikasjonsgruppen GL (1, k ) , og beregninger av Hideya Matsumoto har vist at K 2 ( k ) er isomorf til gruppen generert av K 1 ( k ) × K 1 ( k ) modulerer et sett relasjoner som er enkle å beskrive.
Disse grunnleggende vanskelighetene ble til slutt løst (etterlot en dyp og vanskelig teori) av Daniel Quillen , som ga flere definisjoner av K n ( A ) for alle naturlige tall n , via sin pluss-konstruksjon og dens Q- konstruksjon .
De K -grupper av indeks 0 og 1 var den første til å bli oppdaget, under ulike ad hoc beskrivelser , som fortsatt er nyttig. I det følgende betegner A en ensartet ring .
Alle klasser av isomorfisme av A - projiserende moduler av endelig type , utstyrt med den direkte summen , danner en monoid . Vi definerer K 0 ( A ) som sin Grothendieck-gruppe .
Enhver ringmorfisme A → B gir et kart K 0 ( A ) → K 0 ( B ) som sender (klassen til) hvilken som helst A- modul M (prosjektiv og av endelig type) på M ⊗ A B , som utgjør K 0 en kovariant funksjon.
Hvis ringen A er kommutativ , kan vi i K 0 ( A ) definere undergruppen
eller
er applikasjonen som (klassen av) M knytter rangeringen til A P - fri modul M P (denne modulen er faktisk gratis, siden den er en projiserende modul på en lokal ring ). Denne undergruppen kalles K redusert -theory indeks 0 av A .
Vi kan utvide den definisjon av K- 0 til en ikke-enhetlig nødvendigvis ring B ved å betrakte dets unitarized A = B 1 og den kanoniske morphism enhetlig ringene A → ℤ. Vi definerer deretter K 0 ( B ) som kjernen til den tilsvarende K 0 ( A ) → K 0 (ℤ) = ℤ morfisme .
EksemplerEnten jeg en ideell for A . Vi definerer den tilknyttede "doble" som følgende underring av produktringen A × A :
deretter den relative K- gruppen:
der applikasjonen er indusert av projeksjonen på den første faktoren.
Denne relative K- gruppen K 0 ( A , I ) er isomorf til K 0 ( I ), hvor jeg blir sett på som en enhetsfri ring. Det at den er uavhengig av A er en analog av eksisjonssetningen i homologi.
Ring K 0Hvis ringen A er kommutativ, den tensorprodukt av to projiserende moduler er fremdeles projeksjons, som induserer en multiplikasjon gjør K 0 en kommutativ ring, med den klasse [ A ] som multiplikativ nøytral. På samme måte induserer det eksterne produktet en struktur av λ-ring (en) . Picards gruppe fordyper seg i gruppen av enheter på K 0 ( A ).
Hyman Bass ga følgende definisjon, som generaliserer den for gruppen av enheter i en ring: K 1 ( A ) er abelianisert av den generelle lineære uendelige gruppen :
I følge Whiteheads lemma sammenfaller den avledede gruppen [GL ( A ), GL ( A )] med den perfekte undergruppen E ( A ) generert av elementære matriser. Gruppen GL ( A ) / E ( A ), først identifisert og studert av Whitehead, kalles Whitehead gruppe av ring A .
K 1 slektningDen relative K- gruppen K 1 ( A , I ) er definert i form av " dobbelt ":
Det passer inn i en nøyaktig sekvens :
Kommutative ringer
Hvis ringen A er kommutativ, kan vi definere et morphism bestemme , GL ( A ) fra gruppe A x enheter av A . Dette kartet forsvinner på E ( A ) går derfor over til kvotienten og definerer en morfisme det: K 1 ( A ) → A × , hvis kjerne er den spesielle Whitehead-gruppen SK 1 ( A ): = SL ( A ) / E ( A ). Vi får til og med en kort eksakt sekvensdeling til høyre kvotient av det, hvis seksjon A × → GL ( A ) er gitt ved inkludering av A × = GL (1, A ) i GL ( A ).
Dermed spaltes K 1 ( A ) til den direkte summen av gruppen av enheter og den spesielle Whitehead-gruppen: K 1 ( A ) ≃ A × ⊕ SK 1 ( A ).
Hvis A er en euklidisk ring (f.eks. Et kommutativt felt , eller ringen av heltall) eller semi-lokal , er gruppen SK 1 ( A ) triviell og determinanten er en isomorfisme fra K 1 ( A ) til A × . Dette er galt for noen hovedring , som gir en av de sjeldne egenskapene til euklidiske ringer som ikke generaliserer til hovedringer. Av mot-eksempler ble gitt av Bass i 1972 og ved Ischebeck i 1980.
SK 1 ( A ) er også trivielt hvis A er en Dedekind-subring av et tallfelt .
Trivialiteten til SK 1 kan tolkes ved å si at K 1 genereres av bildet av GL 1 . Når dette ikke er tilfelle, kan vi finne ut om K 1 genereres av bildet av GL 2 . Dette gjelder for en Dedekind ring, K 1 så blir generert av bilder av GL- 1 og SL 2 . Vi kan studere undergruppen til SK 1 generert av SL 2 ved å bruke Mennicke-symbolene (en) . For en Dedekind-ring der alle kvotienter etter maksimale idealer er endelige , er SK 1 en torsjonsgruppe .
For en ikke-kommutativ ring er den avgjørende morfismen ikke definert generelt, men kartet GL ( A ) → K 1 ( A ) er en erstatning for det.
Enkle sentrale algebraerHvis A er en enkel sentral algebra over et felt F , gir den reduserte normen en generalisering av determinanten, og gir et kart K 1 ( A ) → F *, og vi kan definere SK 1 ( A ) som sin kjerne. Shianghao Wang (en) demonstrerte at hvis graden av A er primær, så er SK 1 ( A ) triviell, og dette strekker seg til tilfellet der graden er firkantet . Wang beviste også at SK 1 er trivielt for enhver enkel sentral algebra over et tallfelt. Vladimir Platonov ga eksempler, for ethvert primtall p , av algebraer av grad p 2 hvis SK 1 ikke er triviell.
John Milnor definert K 2 ( A ) som sentrum av gruppen av Steinberg St ( A ) på A . Det er også kjernen til morfismen φ: St ( A ) → GL ( A ), og Schur-multiplikatoren for gruppen E ( A ) generert av de grunnleggende matrisene.
K 2 (ℤ) = ℤ / 2ℤ og mer generelt, den K 2 av ringen av heltall av et legeme av tall er begrenset.
K 2 (ℤ / n ℤ) er fremdeles ℤ / 2ℤ hvis n er delelig med 4, men ellers er trivielt.
Matsumotos teoremDen K 2 av et felt bestemmes av Steinberg symbolene :
Matsumotos teorem - For ethvert kommutativt felt k ,Vi kan lett utlede at K 2 i ethvert endelig felt er trivielt.
Beregningen av K 2 ( ℚ ) er litt mer komplisert. John Tate beviste det
ved å merke seg at beviset fulgte samme plan som Gauss første bevis på loven om kvadratisk gjensidighet .
Hvis F er et lokalt felt som ikke er arkimedisk , dens K- 2 er den direkte sum av den cykliske gruppe ferdige ℤ / m ℤ og delelig gruppe K- 2 ( F ) m , hvor m er antallet røtter av enhet i F .
Lange eksakte sekvenserHvis A er en Dedekind-ring og F dens brøkfelt , har vi en lang nøyaktig sekvens
hvor P løper over alle prim ideal ikke-null av A .
På den annen side utvides den nøyaktige sekvensen som bringer inn relative K 1 og K 0 for alle A og I (ideal for A ) :
Kobling
Det er en kobling på K 1 -verdier i K 2 : gitt en pendlingsmatrise X og Y på A , er x og y av bakgrunnen i gruppen av Steinberg . Den bryter xyx -1 y -1 er et element av K- 2 . Denne applikasjonen er ikke alltid antatt .
Den ovenfor ekspresjon av K- 2 i et kommutativt felt k ført Milnor til en definisjon av "høyere" K -grupper som komponentene i hver grad , av den kvotient av den tensor algebra av den abelsk gruppe k x to av l' - sidig ideell generert av a ⊗ (1 - a ) for a ≠ 0, 1:
For n = 0, 1 eller 2 sammenfaller disse K M n- gruppene med K n- gruppene definert nedenfor , men for n ≥ 3 er de generelt forskjellige. For ethvert endelig felt k er K M n ( k ) trivielt for alle n ≥ 2, mens K n ( k ) bare er trivielt hvis n er jevn.
Bildet i K M n ( k ) av et element a 1 ⊗… ⊗ a n kalles et symbol, og betegnes { a 1 ,…, a n }. Hvis m er et inverterbart heltall i k , er det en applikasjon
hvor μ m betegner den gruppe av m -te rot av enhet i en separerbar forlengelse av k . Det strekker seg til en applikasjon
som sjekker forholdet som definerer K- gruppene i Milnor. Kartet ∂ n , således definert på K M n ( k ), kalles "Galois-symbol".
Forholdet mellom den etale (eller Galois ) kohomologien til kroppen og dens K- teori om Milnor modulo 2 er Milnor-gjetningen , demonstrert av Vladimir Voevodsky . Den analoge uttalelsen for odde primtal er Bloch-Kato-formodningen (en) , demonstrert av Voevodsky, Rost (de) og andre.
Etter noen år hvor forskjellige inkompatible definisjoner ble foreslått for K- grupper med høyere indekser, er det gitt av Quillen som ble akseptert. Utfordringen var å finne definisjoner av K ( R ) og K ( R , I ) i form av klassifisering av mellomrom (en) , slik at R ↦ K ( R ) og ( R , I ) ↦ K ( R , I ) er funksjoner med verdier i en homotopisk kategori (in) av mellomrom og at den lange eksakte sekvensen for de relative K- gruppene ganske enkelt er den lange eksakte homotopisekvensen til en fibrasjon K ( R , I ) → K ( R ) → K ( R / I ).
Quillen ga to konstruksjoner, "pluss-konstruksjonen" og " Q- konstruksjonen ", sistnevnte ble deretter modifisert på forskjellige måter. De to konstruksjonene gir de samme K- gruppene.
For n > 0, definerer Quillen den n -te K -gruppe av R som den n -te homotopiteori gruppe fra en plass ved å påføre dets plus (de) konstruksjon til den klassifiseringsenhet B GL ( R ) av den uendelige lineære gruppe GL ( R ):
For å utvide denne definisjonen til saken n = 0, er det nok å sette
siden b GL ( R ) + er forbundet med sirkelbuer og K 0 ( R ) er atskilt .
Den bygningen Q (i) gir de samme resultatene som å bygge mer, men gjelder mer generelle situasjoner. I tillegg er det mer direkte, i den forstand at K- gruppene den produserer er funksjonelle per definisjon, mens dette ikke er øyeblikkelig i konstruksjonen pluss.
Til hvilken som helst eksakt kategori P , forbinder vi kategorien Q P hvis objekter er de av P og hvis morfismer fra M til M ' er klassene isomorfismer av diagrammer i P av formen
hvor den første pilen er en tillatt epimorfisme og den andre en tillatt monomorfisme .
Den n- th K- gruppen av den nøyaktige kategorien P blir deretter definert av
hvor 0 er et fast nullobjekt og BQ P er klassifiseringsrommet til kategorien Q P , det vil si den geometriske realiseringen (in) av nerven . Spesielt K 0 ( P ) er den Grothendieck gruppe av P .
Ved å ta for P kategorien av projiserende R- moduler av endelig type, finner vi de samme gruppene som K n ( R ) definert av pluss-konstruksjonen. Mer generelt K -grupper av et skjema X er definert som de i kategori (s) av koherente stråler lokalt fri på X .
Vi bruker også følgende variant: i stedet for de projiserende R- modulene av endelig type (dvs. lokalt gratis), tar vi alle R- modulene av endelig type. Vi vanligvis betegner ved G n ( R ) av K -grupper oppnådd på denne måten. Hvis R er en vanlig Noetherian-ring , faller G- og K -teoriene sammen. Faktisk er den globale dimensjonen av R endelig, dvs. ethvert R- modul av endelig type M innrømmer en (i) prosjektiv oppløsning P * → M , og et enkelt argument gjør det mulig å utlede at den kanoniske morfismen K 0 ( R ) → G 0 ( R ) er bijektiv , med [ M ] = Σ ± [ P n ]. Vi viser at morfismen mellom høyere K- grupper også er bindende.
En tredje konstruksjon av K- gruppene er S- konstruksjonen til Waldhausen (en) . Det gjelder kategorier med kofibreringer (kalt kategorier Waldhausen (in) ), mer generelle enn de eksakte kategoriene.
Mens Quillens K- algebraiske teori har bidratt til å forstå ulike aspekter av algebraisk geometri og topologi i dybden , har K- grupper vist seg å være spesielt vanskelige å beregne, bortsett fra i noen få isolerte, men interessante tilfeller.
Denne første beregningen av K - øvre grupper av en ring - og en av de viktigste - ble utført av Quillen selv: det endelige feltet med q- elementer blir betegnet med F q , vi har:
Quillen beviste at K- gruppene til ringen O F av heltall i et tallfelt F er av endelig type . Armand Borel brukes det til å beregne K i ( U- F ) og K i ( F ) modulo torsjon . For eksempel for F = ℚ, Borel viste seg at for alle i > 1, K i (ℤ) modulo torsjon er ℤ hvis jeg er kongruent med 1 modulo 4 og 0 på annen måte.
Vi har nylig funnet vridnings undergruppene av K- 2 i en (ℤ) og rekkefølgen av endelige abelsk gruppe K 4 k 2 (ℤ), men på spørsmål av syklisitet av den sistnevnte og den triviality av K 4 k ( Depend) avhenger av Vandivers antagelser om gruppen klasser av cyklotomiske heltall . Se artikkelen " Guess Quillen-Lichtenbaum (in) " for detaljer.
Gruppene av K- algebraisk teori griper inn i antagelser om de spesielle verdiene (en) av L-funksjoner , formuleringen av hovedformodningen (en) i den ikke-kommutative Iwasawa-teorien og konstruksjonen av høyere regulatorer (en) .
Den formodning Parshin (en) sier at det for en hvilken som helst variasjon glatte over et avgrenset felt, den K høyere-grupper er torsjon .
Det av Bass (en) forutsier at for en hvilken som helst endelig typen ℤ-algebra A , alle gruppene G n ( A ) har en bestemt type.